八年级轴对称；已有内容，补条件 · 已有内容复用
将军饮马：把折线拉成直线
先看已有内容
已有轴对称最短路径与将军饮马。本页不重建原单元。
使用条件：A、B在直线l同侧，P可在整条直线l上移动，求PA＋PB最小。
容易用错的地方
如果P只能在线段上，交点不在允许范围内时要比较端点；A、B原本在异侧时先看直接连线。
易错题：你来判断
最短折线路径的交点落在规定线段之外，还能直接取它吗？
查看答案与原因
不能，交点不合法，应在允许线段内找最小值，必要时比较两个端点。
初中几何与函数
先看图形成立条件，再选择辅助线。将军饮马复用现有内容，勾股与二次函数是在原单元上补专题深度。
八年级全等与旋转拓展 · 方法与条件专题
手拉手模型：找出同一个旋转
什么时候能用
两个等边三角形OAB、OCD共顶点O，且从OA到OB、从OC到OD都是同一方向旋转60°。连接AC与BD。
为什么成立
同一个绕O的60°旋转把A送到B、把C送到D，所以线段AC整体变成BD，长度不变。也可用两边及夹角相等证明全等。
例题与解答（先想一想，再展开）
若AC＝5厘米，就有BD＝5厘米。只知道OA＝OB、OC＝OD还不够，旋转角和方向也必须对应。
容易用错的地方
两个等边三角形位于不同方向时要重新核对对应，不能看见共顶点就断言任意两条连接线相等。
易错题：你来判断
两个等边三角形共顶点，只凭这句话，能保证任意两条连接线相等吗？
查看答案与原因
不能，必须核对同向同角的旋转和端点对应。
九年级相似拓展 · 方法与条件专题
一线三等角：先找两对相等的角
什么时候能用
多个点共线，图上给出三个相等的角；必须先明确具体比较哪两个三角形。这里先讲两端竖线的常见图。
为什么成立
例图中A、D、B共线，AC与BE都垂直AB，且CD垂直DE。两直角三角形ACD与BDE中，一对角都是90°，另一对锐角由垂直关系相等，因此相似。
例题与解答（先想一想，再展开）
取AD＝2、BD＝4、AC＝3。按对应关系AC对应BD、AD对应BE，有3∶4＝2∶BE，得到BE＝8/3。不是把两条竖线直接当对应边。
容易用错的地方
“一线三等角”只是看图提示，不是额外的相似判定定理。每次都应写清两个三角形和角的对应。
易错题：你来判断
例图AC＝3、AD＝2、BD＝4，按AC/BE＝AD/BD求BE＝6，对吗？
查看答案与原因
不对，对应错了。AC对应BD，AD对应BE，BE＝8/3。
八年级全等与旋转拓展 · 方法与条件专题
半角模型：正方形里，45°怎么凑出全等
什么时候能用
正方形ABCD中，E在BC上，F在CD上，且∠EAF＝45°。要证明EF＝BE＋DF。
为什么成立
把三角形ABE绕A旋转90°到ADG，G落在CD过D的延长线上。于是AG＝AE、DG＝BE。因为∠GAF＝90°－45°＝45°，EAF与GAF由两边和夹角相等而全等，得到EF＝GF。G、D、F共线，所以GF＝GD＋DF＝BE＋DF。
例题与解答（先想一想，再展开）
正方形边长6厘米，BE＝2厘米，DF＝3厘米，且题目给出∠EAF＝45°。因此EF＝2＋3＝5厘米。用坐标复核：E(6,2)、F(3,6)，EF＝√(3²＋4²)＝5。
容易用错的地方
必须同时有正方形、指定点的位置和45°角。只有一个45°角，不能直接套EF＝BE＋DF；换图后旋转方向也要重查。
易错题：你来判断
正方形边长6，BE＝2、DF＝2，不给45°角也能断言EF＝4吗？
查看答案与原因
不能。实际E(6,2)、F(2,6)，EF＝4√2，不是4，角条件不可少。
八年级全等与平行四边形拓展 · 方法与条件专题
倍长中线：延长同样长，造出全等
什么时候能用
三角形ABC中D是BC中点，将AD延长到E，使DE＝AD，连接BE、CE。
为什么成立
AD＝DE、BD＝DC，加上交点处对顶角相等，能证明ADB与EDC全等。同理得到另一组全等，把原来分散的边转移到一起。四边形ABEC的两条对角线互相平分，是平行四边形。
例题与解答（先想一想，再展开）
若AB＝5、AC＝7、AD＝4，则BE＝AC＝7，CE＝AB＝5，AE＝2×4＝8。转到三角形ABE中，可用三边关系检查2＜8＜12。
容易用错的地方
“倍长”是延长一段与原中线等长，不是随便把边延长；用到全等时要明确对应关系。
易错题：你来判断
D是BC中点，延长到E但DE是AD的2倍，还能用同一组全等吗？
查看答案与原因
不能。倍长中线要求DE＝AD，让AE＝2AD，不是DE＝2AD。
八年级角平分线与全等拓展 · 方法与条件专题
截长补短：在长边上截出一段，造出全等
什么时候能用
三角形ABC中，AB大于AC，AD平分∠BAC，D在BC上。在AB上取E，使AE＝AC，连接DE。
为什么成立
AE＝AC，AD是公共边，∠EAD＝∠CAD，所以AED与ACD由两边和夹角相等而全等，得到DE＝DC。原来AB比AC多出来的部分，现在变成了EB。
例题与解答（先想一想，再展开）
AB＝8厘米、AC＝6厘米、BD＝4厘米、DC＝3厘米，且AD是角平分线。截取AE＝6，得到EB＝8－6＝2、DE＝DC＝3，所以三角形BED周长2＋3＋4＝9厘米。
容易用错的地方
截取的长度要服务于全等，不能随便画一段就认为相等。E必须在线段AB上，点的位置也要与题设一致。
易错题：你来判断
AB＝8、AC＝6，在AB上取AE＝4，就能断定DE＝DC吗？
查看答案与原因
不能。为用角平分线造全等，应取AE＝AC＝6，不能任意截取。
八年级全等到九年级相似 · 方法与条件专题
一线三垂直：两种结论别混用
什么时候能用
沿用一线三等角的图：A、D、B共线，AC、BE均垂直AB，CD垂直DE。
为什么成立
只凭三个垂直关系，通常能得到相似；如果再给CD＝DE，就有斜边相等，两个直角三角形才进一步全等。
例题与解答（先想一想，再展开）
若AD＝2、AC＝3，且CD＝DE，则BD＝3、BE＝2；两斜边都为√13。若没有斜边相等条件，BD＝4时BE＝8/3，也能满足三个垂直。
容易用错的地方
三个垂直不自动等于全等。先证明相似，再核对是否有对应边相等。
易错题：你来判断
只给三个垂直，AD＝2、AC＝3，就能断定BD＝3吗？
查看答案与原因
不能。通常只有相似，例如BD＝4、BE＝8/3也可满足垂直关系。
八年级勾股定理；已有基础，扩充应用 · 已有基础，补充专题
勾股定理专题：求边、判直角、展开再求路
什么时候能用
求边必须找到直角三角形；判断直角时把最长边作为候选斜边；表面最短路先考虑展开。
为什么成立
直角三角形用两条直角边的平方和求斜边；三边满足这个等式才能反过来判直角。立体表面路线要把允许经过的面摊平，直线才可能是该展开方案下最短路线。
例题与解答（先想一想，再展开）
直角边6、8，斜边√(36＋64)＝10；边5、6、7不满足25＋36＝49，故不是直角三角形。一个长方体沿指定相邻两面展开后得到长7、宽12的矩形，对角线路程√(49＋144)＝√193。
容易用错的地方
立体题如果能走不同的面，须比较不同有效展开方案；不能算一个展开图就声称全局最短。
易错题：你来判断
边长5、6、7的三角形，因为都有平方就能用勾股求面积吗？
查看答案与原因
不能，25＋36不等于49，它不是直角三角形。
八九年级综合 · 已有基础，补充专题
动点问题：位置写成式子，还要写范围
什么时候能用
点按给定速度沿线段移动，求距离、面积或相遇时刻。
为什么成立
时间决定走了多远，走了多远决定点的位置，再用位置计算目标量；到端点或运动规则改变时必须分段。
例题与解答（先想一想，再展开）
长方形长10、宽6，P从左下角沿底边每秒2厘米移动。0到5秒内，底边左端到P长2t，以上方左顶点与这段底构成的三角形面积6×2t÷2＝6t。t＝3时面积18平方厘米，t＝5到达端点。
容易用错的地方
公式的有效范围是0≤t≤5，不能直接代入t＝8；停下、折返或继续转弯要另写规则。
易错题：你来判断
例题t＝8时直接代S＝6t，得到48平方厘米，对吗？
查看答案与原因
不对，点在5秒时已到端点，原公式只对0≤t≤5有效。
九年级二次函数综合 · 已有基础，补充专题
二次函数面积：先求高，再找允许范围内最大值
什么时候能用
两点在同一水平底边上，第三点在抛物线上并位于底边同侧，求三角形面积。
为什么成立
底固定时，面积随到底边的垂直距离变化。用函数表示高，就能把面积写成关于位置的二次式。
例题与解答（先想一想，再展开）
A(0,0)、B(4,0)，P在y＝－x²＋4x上且0≤x≤4。底AB＝4，高就是y，面积S＝2(－x²＋4x)＝－2(x－2)²＋8。x＝2时P(2,4)，最大面积8。
容易用错的地方
若点在底边另一侧，高要取距离的正值；底边不是水平线时，不能直接把y当高。
易错题：你来判断
把P限制在0≤x≤1时，最大面积仍为8吗？
查看答案与原因
不是，顶点x＝2不在范围内。此范围最大在x＝1，面积－2＋8＝6。
九年级综合拓展 · 已有基础，补充专题
存在性问题：列完条件，还得删掉无效点
什么时候能用
问是否存在点使图形成等腰、直角、平行四边形等，需要把不同位置和对应情形分别列出。
为什么成立
以等腰三角形为例，有AB＝AP、AB＝BP、AP＝BP三种可能。逐一解方程后，去掉重合点、共线点和超出运动范围的点，最后合并重复解。
例题与解答（先想一想，再展开）
A(0,0)、B(4,0)，P在直线x＝2上。因为P到A、B对称，只要P不是(2,0)，都有AP＝BP，可构成等腰三角形；若再要求直角，直角只能在P，解得P(2,2)或(2,－2)。检验两直角边平方都是8，AB²＝16。
容易用错的地方
“等腰”不代表只有有限个点，可能有整条轨迹；列了方程不是完成，还要检查非退化与范围。
易错题：你来判断
P(2,0)满足PA＝PB＝2，因此是一个等腰三角形解，对吗？
查看答案与原因
不对，A、P、B共线，不能组成三角形，必须剔除。
内容与学习说明
文稿与配图由鼓捣星球整理编写。模型名称不是统一教材章节，不代表各地都考。先看成立条件与证明，再做例题和易错题。图为示意，不靠量图推理。
按已有、已有基础待补、专题补充分类；不是全站知识点缺失声明。初中模型请在对应先修单元后学习。