二次函数

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形如

${\displaystyle y＝a{x}^2+bx+c}$

（$a$、$b$、$c$ 是常数，$a\ne 0$）的函数叫二次函数。$b$、$c$ 可以是 0，$a$ 不能是 0。最简单的是 $y＝x^2$。

判断时先化简：把式子展开、合并后，自变量的最高次数是 2，并且是整式，就是二次函数。

生活中的例子：正方形面积 $S＝a^2$；矩形周长为 20、一边长 $x$，面积 $S＝x(10-x)＝-x^2+10x$。

考点

• $y＝x(x-1)$ 展开是 $y＝x^2-x$，是二次函数。
• $y＝{(x+1)}^2-x^2$ 展开后 $x^2$ 消掉，得 $y＝2x+1$，是一次函数。
• $y＝\frac{1}{x^2}$ 不是整式，不是二次函数。
• 求参数：$y＝(m-1)x^2+2x$ 是二次函数，要 $m-1\ne 0$，即 $m\ne 1$。

学什么

二次函数的图象叫抛物线。先看最基本的形式 y＝ax²（a≠0）：顶点在原点 (0，0)，对称轴是 y 轴，也就是直线 x＝0。

• a>0 时开口向上，x＝0 时有最小值 0；在 y 轴左侧，y 随 x 增大而减小，在右侧增大。
• a<0 时开口向下，x＝0 时有最大值 0；在 y 轴左侧，y 随 x 增大而增大，在右侧减小。
• |a| 越大，抛物线开口越小；a 的正负决定开口方向。

考点

• y＝2x² 与 y＝−2x² 的顶点都是 (0，0)，开口方向相反，图象关于 x 轴对称。
• y＝2x² 中 x＝−1 与 x＝1 时函数值都是 2；关于 y 轴对称的两点有相同的函数值。

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$y＝a{(x-h)}^2+k$ 这种写法叫顶点式，一眼能读出三件事：

• 开口：$a>0$ 向上，$a<0$ 向下；$\left|a\right|$ 越大，开口越小。
• 对称轴：直线 $x＝h$。
• 顶点：$(h,k)$。

$a>0$ 时顶点是最低点，函数有最小值 $k$；$a<0$ 时顶点是最高点，有最大值 $k$。

平移规律：左右平移改括号里，“左加右减”；上下平移改括号外，“上加下减”。

考点

• $y＝2{(x-1)}^2+3$：开口向上，对称轴 $x＝1$，顶点 $(1,3)$，最小值 3。
• $y＝-{(x+2)}^2+5$：括号里是 $x+2＝x-(-2)$，所以 $h＝-2$，顶点 $(-2,5)$，最大值 5。
• $y＝x^2$ 向右平移 2、向下平移 1，得 $y＝{(x-2)}^2-1$。
• 增减性以对称轴为界：$a>0$ 时，对称轴左边 $y$ 随 $x$ 增大而减小，右边增大。

学什么

一般式先配方成顶点式，就能用上一课时的方法：

${\displaystyle y＝x^2-4x+3}$

${\displaystyle ＝(x^2-4x+4)-4+3}$

${\displaystyle ＝{(x-2)}^2-1}$

也可以直接用公式：对称轴

${\displaystyle x＝-\frac{b}{2a}}$

把这个 $x$ 代回函数，得到顶点纵坐标。

$a$、$b$、$c$ 和图象的关系：

• $a$ 定开口：$a>0$ 向上。
• $c$ 是与 $y$ 轴交点的纵坐标：令 $x＝0$ 得 $y＝c$。
• $b$ 和 $a$ 一起定对称轴位置：同号在 $y$ 轴左边，异号在右边（“左同右异”）。

考点

• $y＝2x^2-8x+1$ 的对称轴：$x＝-\frac{-8}{2\times 2}＝2$。
• 最值：

  $y＝-x^2+2x+3$

  $＝-{(x-1)}^2+4$

  开口向下，最大值 4。
• 比较函数值：开口向上时，离对称轴越远的点，函数值越大。
• 增减性：$y＝-x^2+2x+3$ 在 $x>1$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而减小。

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抛物线 $y＝a{x}^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标，就是方程 $a{x}^2+bx+c＝0$ 的根。

• $\mathrm{\Delta }>0$：与 $x$ 轴有两个交点。
• $\mathrm{\Delta }＝0$：只有一个交点，正好是顶点。
• $\mathrm{\Delta }<0$：没有交点。

从图象解不等式：$y>0$ 看图象在 $x$ 轴上方的部分，$y<0$ 看下方的部分，再读出对应的 $x$ 范围。

考点

• $y＝x^2-4x+3$ 与 $x$ 轴交于 $(1,0)$、$(3,0)$，因为 $x^2-4x+3＝0$ 的根是 1 和 3。
• 开口向上、与 $x$ 轴交于 1 和 3：$y<0$ 时 $1<x<3$；$y>0$ 时 $x<1$ 或 $x>3$。
• 由交点个数求参数：$y＝x^2-2x+m$ 与 $x$ 轴有两个交点，$4-4m>0$，$m<1$。

学什么

求实际问题的最值，四步走：

1. 设自变量，列出二次函数。
2. 写出自变量的取值范围。
3. 配方或用 $x＝-\frac{b}{2a}$ 找顶点。
4. 先按开口方向判断顶点给出最大值还是最小值。闭区间内求最值时，比较两端点及区间内顶点的函数值；范围不含端点时，还要判断所求最值能否取到。

常见模型：

• 利润 ＝（售价 − 进价）× 销量，涨价会让销量减少。
• 靠墙围矩形：篱笆总长为 20，垂直于墙的边为 $x$，面积 $S＝x(20-2x)$。
• 拱桥：以顶点为原点建坐标系，设 $y＝a{x}^2$，代入一个已知点求 $a$。

考点

• $S＝x(20-2x)$

  $＝-2{(x-5)}^2+50$

  $0<x<10$，$x＝5$ 时面积最大 50。
• 墙长只有 8 米时，$20-2x\le 8$，$x\ge 6$，顶点 $x＝5$ 不在范围内。在 $x\ge 6$ 时面积随 $x$ 增大而减小，$x＝6$ 时最大，$S＝6\times 8＝48$。
• 利润问题设“涨价 x 元”，销量就写成“原销量 − 每涨 1 元少卖的件数 × x”。