勾股定理

先认斜边，再列等式。
每一步，都有理由。

侧视图中，一架红色梯子斜靠竖直墙面，梯脚落在水平地面上 — 先找墙角的直角：梯子是斜边，墙高和离墙距离是两条直角边。

哪条边是斜边？

a^{2} + b^{2} ＝ c^{2}

c 是斜边，直角所对的最长边

3^{2} + 4^{2} ＝ 5^{2}

最常见的一组勾股数

本章所有计算都从一句话开始：先找直角，认准斜边。

配套动画

一共 4 条，每条约 1 分钟，讲一个重点。点击播放。

1. 勾股定理和赵爽弦图，约 1 分钟。

2. 梯子下滑和折竹问题，约 1 分钟。

3. 逆定理和勾股数，约 1 分钟。

4. 难点：折叠和最短路径，约 1 分钟。

按 2022 年版课标修订的人教版八下第二十章。20.1 分成两个学习课时，20.2 一课时。

三课时，把规则学扎实

先读“学什么”，再用易错反例检查自己。

第1课时

20.1 勾股定理及其应用

定理与赵爽弦图证明

学什么

直角三角形两条直角边长为 $a$ 、 $b$ ，斜边长为 $c$ ，那么两直角边的平方和等于斜边的平方。

$a^{2} + b^{2} ＝ c^{2}$

斜边是直角所对的边，也是直角三角形里最长的边。知道任意两边，就能求第三边：

$c ＝ \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

$a ＝ \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

赵爽弦图：用 4 个全等的直角三角形围成边长为 $c$ 的大正方形，在b>a时，中间空出边长为 $b - a$ 的小正方形。大正方形面积用两种方法算，结果相等：

$c^{2} ＝ 4 \times \frac{1}{2} a b + {(b - a)}^{2}$

$＝ a^{2} + b^{2}$

桌上一块没有刻度的直角三角形教具，一条边竖直、一条边水平，斜边在对面 — 直角三角形先认直角，直角所对的那条边才是斜边。

考点

已知两直角边求斜边：两直角边为 6 和 8，斜边 $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} ＝ \sqrt{100} ＝ 10$ 。
已知斜边和一直角边求另一直角边：斜边 13、直角边 5，另一直角边 $\sqrt{13^{2} - 5^{2}} ＝ \sqrt{144} ＝ 12$ 。
题目只说“两边”时要分类：两边为 3 和 4，第三边是 $5$ 或 $\sqrt{7}$ 。

易错点

没说哪条是斜边时，只算一种就漏解。3 和 4 都是直角边时第三边是 5；4 是斜边时，第三边是 $\sqrt{4^{2} - 3^{2}} ＝ \sqrt{7}$ 。

勾股定理只对直角三角形成立。不是直角三角形，不能直接套 $a^{2} + b^{2} ＝ c^{2}$ 。

第2课时

20.1 勾股定理及其应用

梯子、折竹与最短路线

学什么

实际问题的做法只有三步：找出（或构造）直角三角形，标清哪条是斜边，再列方程。

梯子靠墙：梯子长是斜边，墙高和梯脚到墙的距离是直角边。

$\sqrt{10^{2} - 6^{2}} ＝ \sqrt{64}$

$＝ 8$

折竹问题：设折断处离地 $x$ ，竹梢一段长就是 $(10 - x)$ ，它是斜边。

立体图形上的最短路线：先把表面“拆开压平”，在平面上两点之间线段最短，再用勾股定理算。

考点

梯子滑动：两个状态各算一次，再求差。
长方体一对相对顶点之间沿完整表面的最短路径：长 $a$ 、宽 $b$ 、高 $c$ 时，三种展开分别是 $\sqrt{{(a + b)}^{2} + c^{2}}$ 、 $\sqrt{{(a + c)}^{2} + b^{2}}$ 、 $\sqrt{{(b + c)}^{2} + a^{2}}$ ，取最小的。
盒子里能放的最长木棒是体对角线：长 4、宽 3、高 12 时， $\sqrt{4^{2} + 3^{2} + 12^{2}} ＝ \sqrt{169} ＝ 13$ 。
圆柱侧面展开是长方形。若起点、终点分别在上下底面边缘，且水平投影是直径两端，则水平方向相隔半个底面周长。高 12、底面周长 10 时，沿侧面的最短路程 $\sqrt{5^{2} + 12^{2}} ＝ 13$ 。

易错点

立体图形不展开。蚂蚁只能在表面爬，长 4、宽 2、高 1 的盒子，不能用穿过盒子内部的 $\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}} ＝ \sqrt{21}$ 当答案，最短路程是 5。

只算一种展开方式。三种展开要都算出来比较，不同的展开结果不一样。

第3课时

20.2 勾股定理的逆定理及其应用

判断直角三角形、勾股数与互逆命题

学什么

如果三角形的三边长 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a^{2} + b^{2} ＝ c^{2}$ ，那么这个三角形是直角三角形，最长边 $c$ 所对的角是直角。

判断方法：先找最长边，算它的平方，再和另外两边的平方和比较。

$5^{2} + 12^{2} ＝ 25 + 144$

$＝ 169$

$＝ 13^{2}$

能构成直角三角形三边的三个正整数叫勾股数，常见的有 3、4、5，5、12、13，8、15、17，7、24、25。勾股数同乘一个正整数还是勾股数，比如 6、8、10。

互逆命题：把一个命题的条件和结论交换，就得到它的逆命题。原命题成立，逆命题不一定成立。一个定理的逆命题经过证明也成立，就称它为原定理的逆定理。

考点

判断能否构成直角三角形：2、3、4 不能，因为 $2^{2} + 3^{2} ＝ 13 \neq 16 ＝ 4^{2}$ 。
勾股数必须是正整数：0.3、0.4、0.5 能构成直角三角形，但不是勾股数。
写逆命题并判断真假：“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题。
逆定理和定理配合：先用勾股定理求出一条边，再用逆定理判定另一个直角。

易错点

没用最长边作 $c$ 。三边 13、5、12，若算 $13^{2} + 5^{2}$ 和 $12^{2}$ 比，会误判成“不是直角三角形”。

写逆命题只把话倒过来念，没有交换条件和结论。先分清“如果……”和“那么……”，再交换。

先自己想，再看下一步

六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：没说斜边，就要分两种

一个直角三角形的两条边长分别是 3 和 4，求第三条边的长。

题目没说哪条是斜边。第三边可能是斜边，4 也可能是斜边（3 比 4 短，不可能是斜边）。
情况一：3 和 4 都是直角边，第三边是斜边：
$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} ＝ \sqrt{25} ＝ 5$
情况二：4 是斜边，3 是直角边：
$\sqrt{4^{2} - 3^{2}} ＝ \sqrt{7}$
所以第三边是 5 或 $\sqrt{7}$ 。两种都要写。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：用赵爽弦图证明勾股定理

四个全等的直角三角形（直角边 $a$ 、 $b$ ， $a < b$ ，斜边 $c$ ）拼成一个边长为 $c$ 的大正方形，中间留下一个小正方形。用它证明 $a^{2} + b^{2} ＝ c^{2}$ 。

大正方形边长是 $c$ ，面积是 $c^{2}$ 。
中间小正方形的边长是长直角边减短直角边，即 $b - a$ ，面积是 ${(b - a)}^{2}$ 。
大正方形＝ 4 个直角三角形＋小正方形：
$c^{2} ＝ 4 \times \frac{1}{2} a b + {(b - a)}^{2}$
$＝ 2 a b + b^{2} - 2 a b + a^{2}$
化简得到：
$c^{2} ＝ a^{2} + b^{2}$
同一个图形的面积，用两种方法算，结果相等，这就是弦图证明的思路。

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例题3：梯子往下滑，梯脚移多远？

一架长 10 米的梯子斜靠在竖直的墙上，梯脚离墙 6 米。① 梯顶离地多高？② 如果梯顶沿墙下滑 2 米，梯脚向外移动多少米？

梯子、墙、地面组成直角三角形，梯子长 10 米是斜边。
① 梯顶高度：
$\sqrt{10^{2} - 6^{2}} ＝ \sqrt{64}$
$＝ 8$
梯顶离地 8 米。
② 下滑 2 米后，梯顶离地 8 − 2 ＝ 6 米。梯子长度不变，仍是斜边：
$\sqrt{10^{2} - 6^{2}} ＝ \sqrt{64}$
$＝ 8$
梯脚离墙变成 8 米。
梯脚移动的距离是 8 − 6 ＝ 2 米。
注意：梯顶滑 2 米，梯脚不一定也移 2 米。这里正好相等，是因为两个三角形的直角边 6 和 8 交换了位置。

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例题4：折竹问题：设未知数列方程

折竹题型改编：一根竹子高 1 丈（10 尺），从某处折断，竹梢触地处离竹根 3 尺。折断处离地面多高？

一根竹子在中途折断，下段仍竖直，上段从折断处斜向右下，竹梢接触水平地面 — 折下的竹梢一段是斜边；竖直下段与水平地面组成直角。

设折断处离地面 $x$ 尺。竖着的一段是 $x$ ，地面一段是 3，折下的一段长 $10 - x$ 尺，它是斜边。
由勾股定理列方程：
$x^{2} + 3^{2} ＝ {(10 - x)}^{2}$
展开右边，两边的 $x^{2}$ 抵消：
$x^{2} + 9 ＝ 100 - 20 x + x^{2}$
$20 x ＝ 91$
解得：
$x ＝ 4.55$
折断处离地面 4.55 尺。检验：折下的一段长 5.45 尺，4.55² ＋ 3² ＝ 29.7025 ＝ 5.45²，成立。

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例题5：蚂蚁爬盒子：先展开，再比较

一个长方体盒子，长 4、宽 2、高 1。一只蚂蚁从下底面的一个顶点 A，沿盒子表面爬到相对的上底面顶点 G（AG 是体对角线的两端）。最短路程是多少？

一只小蚂蚁正沿扁长的长方体纸盒外表面爬行 — 蚂蚁只能沿盒子表面走；先展开表面，再比较路线。

蚂蚁只能在表面爬，不能穿过盒子内部。把盒子表面展开压平，A、G 之间连成线段，它是一个直角三角形的斜边。
有三种展开方式，直角边分别是“两条棱之和”和“第三条棱”：
$\sqrt{{(4 + 2)}^{2} + 1^{2}} ＝ \sqrt{37}$
$\sqrt{{(4 + 1)}^{2} + 2^{2}} ＝ \sqrt{29}$
$\sqrt{{(2 + 1)}^{2} + 4^{2}} ＝ \sqrt{25}$
$＝ 5$
比较： $25 < 29 < 37$ ，所以最短路程是 5。
如果直接算体对角线 $\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}} ＝ \sqrt{21}$ ，那是穿过盒子内部的长度，不是蚂蚁能爬的路线。

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例题6：中考常见综合题型

本题为自编练习。凸四边形 ABCD 中， $∠ B ＝ 90 °$ ，AB ＝ 3，BC ＝ 4，CD ＝ 12，AD ＝ 13。求四边形 ABCD 的面积。

连接 AC。在直角三角形 ABC 中，由勾股定理：
$A C ＝ \sqrt{3^{2} + 4^{2}} ＝ 5$
看三角形 ACD 的三边 5、12、13，最长边是 13：
$5^{2} + 12^{2} ＝ 169$
$＝ 13^{2}$
由勾股定理的逆定理， $∠ A C D ＝ 90 °$ 。
面积分成两个直角三角形：
$\frac{1}{2} \times 3 \times 4 + \frac{1}{2} \times 5 \times 12$
$＝ 6 + 30 ＝ 36$
四边形 ABCD 的面积是 36。这里先用定理求边，再用逆定理找直角，两步缺一不可。

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知识点速看

第二十章勾股定理

直角三角形里，两条直角边的平方加起来等于斜边的平方： $a^{2} ＋ b^{2}$ $＝ c^{2}$ 。 $3^{2} ＋ 4^{2}$ $＝ 9 ＋ 16$ $＝ 25$ $＝ 5^{2}$ 。
求斜边：两直角边 6 和 8，斜边是 $\sqrt{36 ＋ 64}$ $＝ \sqrt{100}$ $＝ 10$ 。
求直角边：斜边 13、一条直角边 5，另一条是 $\sqrt{169 － 25}$ $＝ \sqrt{144}$ $＝ 12$ 。
反过来也成立：三边满足 $a^{2} ＋ b^{2}$ $＝ c^{2}$ ，就是直角三角形。边长 5、12、13 的三角形，25＋144＝169，所以是直角三角形。
常用勾股数：3、4、5；5、12、13；8、15、17。三个数一起放大几倍也行，比如 6、8、10。

巧算妙招

这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。

妙招 1

背熟几组勾股数，三条边一起放大几倍也能用

先想一想

一个直角三角形两条直角边是 9 和 12，斜边是多少？按部就班要算 $9^{2} ＋ 12^{2}$ ，再开方。可如果你一眼看出它是「3、4、5」放大了 3 倍，答案马上就出来了。

怎么做

勾股数，就是正好能做直角三角形三条边的三个正整数。先记住最常见的 4 组（每组最后一个数是斜边）：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25。三个数同时乘同一个正整数，还是勾股数。比如 3、4、5 乘 2 是 6、8、10，乘 3 是 9、12、15。为什么放大以后还成立？以放大 3 倍为例： $9^{2} ＋ 12^{2}$ 就是 (9 × 9) ＋ (16 × 9)，等于 25 × 9 ＝ 225，正好是 $15^{2}$ 。每条边都乘 3，每个平方都乘 9，等式两边一起乘 9，还是相等。看到两条边正好是某一组的同一个倍数，第三条边就能直接写出来。

例题

直角三角形两条直角边是 9 和 12，求斜边。

9 ＝ 3 × 3，12 ＝ 3 × 4，正好是 3 和 4 的 3 倍。
3、4、5 都乘 3，得到 9、12、15，所以斜边是 15。
用勾股定理核对一下： $9^{2} ＋ 12^{2}$ $＝ 81 ＋ 144$ $＝ 225$ $＝ 15^{2}$ ，对了。

什么时候能用

已知两条边求第三条边；判断三条线段能不能围成直角三角形（是勾股数或者它的倍数就能）；梯子靠墙、旗杆这类实际问题。

容易用错的地方

认错了斜边。如果两条边是 9 和 15，而 15 是斜边，另一条直角边是 12；但如果 9 和 15 都是直角边，斜边就是 $\sqrt{81 ＋ 225}$ $＝ \sqrt{306}$ $＝ 3 \sqrt{34}$ ，不是 12。先认准哪条是斜边，再去套勾股数。
不成倍数就不能乱套。两条直角边是 5 和 13，斜边是 $\sqrt{25 ＋ 169}$ $＝ \sqrt{194}$ ，不是 12。在 5、12、13 里，13 是斜边，不是直角边。
题目只说「两条边是 3 和 4」，没说哪条是斜边，那么第三条边可能是 5（3 和 4 都是直角边），也可能是 $\sqrt{7}$ （4 是斜边）。两种情况都要写。
勾股数必须是正整数。0.3、0.4、0.5 能围成直角三角形，但它们不叫勾股数。

妙招 2

求直角边，先加减，再相乘

先想一想

斜边 25，一条直角边 24，另一条直角边是多少？算 $25^{2} － 24^{2}$ ，要先算出 625 和 576 再相减。有没有不用算大数平方的办法？

怎么做

有。按勾股定理，另一条直角边的平方，等于斜边的平方减去已知直角边的平方。而斜边的平方减去直角边的平方，等于「斜边加直角边」乘「斜边减直角边」，这还是平方差公式。所以先算和与差，再相乘，最后开方。斜边和直角边相差很小的时候，这样特别省事。

例题

直角三角形的斜边长 25，一条直角边长 24，求另一条直角边。

斜边加直角边：25 ＋ 24 ＝ 49。
斜边减直角边：25 － 24 ＝ 1。
相乘：49 × 1 ＝ 49。49 是另一条直角边的平方，开方得 7。另一条直角边是 7。
核对一下： $25^{2} － 24^{2}$ $＝ 625 － 576$ $＝ 49$ ，一样。

什么时候能用

已知斜边和一条直角边，求另一条直角边。比如斜边 41、一条直角边 40，(41 ＋ 40) × (41 － 40) ＝ 81，开方得 9，另一条直角边是 9。

容易用错的地方

只有「斜边的平方减去直角边的平方」能这样算。知道两条直角边求斜边，要用平方和，不能用这个办法。
乘完别忘了开方。49 是边长的平方，边长是 7。

妙招 3

折竹子、折旗杆的题，设 x 列方程，两边的 $x^{2}$ 会自己消掉

先想一想

一根 16 米高的旗杆被风吹断了，顶端落在离旗杆底部 8 米的地上。断的地方离地面多高？看起来要解一个带平方的方程，其实最后只是一个一元一次方程。

怎么做

把没断、还竖着的那一段设为 x，那么折下来的那一段就是「全长减 x」。折下来斜着的那一段是斜边。按勾股定理列方程：竖着的一段的平方，加上地面那段的平方，等于斜着那段的平方。展开以后，两边各有一个 $x^{2}$ ，正好消掉，剩下一个一元一次方程。

例题

一根 16 米高的旗杆被风吹折，顶端落在离旗杆底部 8 米的地面上。折断处离地面多高？

设折断处离地面 x 米。竖着的一段是 x 米，折下的一段是 (16 － x) 米，它是斜边。
列方程： $x^{2} ＋ 8^{2}$ $＝ {(16 － x)}^{2}$ 。
展开右边： $x^{2} ＋ 64$ $＝ 256 － 32 x ＋ x^{2}$ 。两边都有 $x^{2}$ ，消掉。
剩下 32x ＝ 256 － 64 ＝ 192，所以 x ＝ 6。
检验一下：折下的一段长 16 － 6 ＝ 10 米， $6^{2} ＋ 8^{2}$ $＝ 100$ $＝ 10^{2}$ ，成立。折断处离地面 6 米。

什么时候能用

折竹子、旗杆折断、绳子垂下来再拉开、长方形纸片折叠以后求线段长，这些「一条边是 x，另一条边是总长减 x」的题。

容易用错的地方

把折下来的一段当成直角边。斜着的那一段才是斜边。
展开 ${(16 － x)}^{2}$ 时漏掉中间的－32x，或者写成 $256 － x^{2}$ 。
求出 x 以后，看清题目问的是哪一段：是折断处的高度，是折下部分的长，还是原来的总高度。

中考真题

下面是和本章「勾股定理」对得上的中考原题。先自己做，再点开看讲解。数字没有改过。

2024 江苏南通中考第8题

赵爽弦图与勾股定理

知识点：赵爽弦图把四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成大正方形；大正方形的边就是直角三角形的斜边

“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形的两条直角边长分别为 m，n（m＞n）。若小正方形面积为 5，（m＋n）²＝21，则大正方形面积为（　）

示意图（自绘，不是原卷扫描）

查看答案与讲解

答案：B

先看中间的小正方形。四个直角三角形全等，两条直角边分别是 m 和 n，而且 m＞n。把它们按弦图那样拼好以后，中间空出来的小正方形边长正好是两条直角边的差 m－n。所以小正方形面积是（m－n）²＝5。
题目又给了（m＋n）²＝21。这两个式子可以一起用：把它们相加，（m＋n）²＋（m－n）²＝21＋5＝26。
左边展开：m²＋2mn＋n²＋m²－2mn＋n²＝2m²＋2n²。所以 2（m²＋n²）＝26，从而 m²＋n²＝13。
大正方形的边，就是直角三角形的斜边。由勾股定理，斜边的平方正好是 m²＋n²。所以大正方形的面积是 13，选 B。
也可以这样记：大正方形面积＝四个直角三角形面积＋小正方形面积＝4×（¹/₂mn）＋5＝2mn＋5。再用（m＋n）²－（m－n）²＝4mn，得 21－5＝16＝4mn，所以 2mn＝8，面积＝8＋5＝13。两种算法一致。

独立验算：m²＋n²＝[（m＋n）²＋（m－n）²]÷2＝（21＋5）÷2＝13。

将军饮马、角平分线求面积仍在核对完整题干，这一轮还没有补上。平行四边形基础题也还没对到可以一字不差公开的程度。

轮到你，把方法用出来

12 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。

填空写最简结果，长度只填数字、不写单位。根号可写 √2、sqrt(2) 或根号2；小数如 4.8，分数如 24/5。也可点输入框下的符号按钮。

第1题

直角三角形的两条直角边分别是 6 和 8，斜边长是？

查看解法

$\sqrt{6^{2} + 8^{2}} ＝ \sqrt{100}$

$＝ 10$

100 是斜边的平方，不是斜边。

第2题

一个直角三角形的两条边长是 3 和 4，第三条边长是？

查看解法

3、4 都是直角边时，第三边 $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} ＝ 5$ ；4 是斜边时，第三边 $\sqrt{4^{2} - 3^{2}} ＝ \sqrt{7}$ 。

第3题

直角三角形的斜边长 13，一条直角边长 5，另一条直角边长是多少？

你的答案

查看解法

$\sqrt{13^{2} - 5^{2}} ＝ \sqrt{144}$

$＝ 12$

第4题

两条直角边都是 1 的等腰直角三角形，斜边长是多少？

你的答案

查看解法

$\sqrt{1^{2} + 1^{2}} ＝ \sqrt{2}$

第5题

下列各组数作为三角形三边长，能构成直角三角形的是？

查看解法

$5^{2} + 12^{2} ＝ 169$

$＝ 13^{2}$

其余三组： $2^{2} + 3^{2} ＝ 13 \neq 16$ ， $4^{2} + 5^{2} ＝ 41 \neq 36$ ， $6^{2} + 7^{2} ＝ 85 \neq 64$ 。

第6题

下列哪一组是勾股数？

查看解法

$8^{2} + 15^{2} ＝ 64 + 225$

$＝ 289$

$＝ 17^{2}$

A、B 两组虽然能构成直角三角形，但不全是正整数，不是勾股数；D 组 16＋25≠36。

第7题

一架 10 米长的梯子斜靠在墙上，梯脚离墙 6 米，梯顶离地面多少米？

你的答案

查看解法

$\sqrt{10^{2} - 6^{2}} ＝ \sqrt{64}$

$＝ 8$

梯顶离地 8 米。

第8题

一个长方体盒子，长 4、宽 3、高 12，盒子里能放下的最长木棒是多长？

你的答案

查看解法

$\sqrt{4^{2} + 3^{2}} ＝ 5$

$\sqrt{5^{2} + 12^{2}} ＝ \sqrt{169}$

$＝ 13$

第9题

圆柱高 12 cm，底面周长 10 cm。蚂蚁从下底面的点 A 沿侧面爬到上底面边缘的点 B，A 与 B 在水平面上的投影恰是同一条底面直径的两端，最短路程是多少厘米？

你的答案

查看解法

展开后，两条直角边是 12 和 $10 \div 2 ＝ 5$ ：

$\sqrt{5^{2} + 12^{2}} ＝ \sqrt{169}$

$＝ 13$

第10题

三角形三边长 6、8、10。最长边上的高是多少？

你的答案

查看解法

$6^{2} + 8^{2} ＝ 100$

$＝ 10^{2}$

所以是直角三角形，6、8 是直角边。设斜边上的高为 h：

$\frac{1}{2} \times 6 \times 8 ＝ \frac{1}{2} \times 10 \times h$

$h ＝ 4.8$

第11题

命题“如果两个数相等，那么它们的平方相等”的逆命题和它的真假是？

查看解法

交换条件和结论，逆命题是“如果两个数的平方相等，那么这两个数相等”。反例： ${(- 2)}^{2} ＝ 2^{2}$ ，但 −2≠2，所以是假命题。C、D 是否定条件和结论，不是逆命题。

第12题

一根旗杆在离地面 3 米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 4 米处。旗杆折断前有多高？

你的答案

查看解法

$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} ＝ 5$

旗杆原高 3 ＋ 5 ＝ 8 米。

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教材节名与学习说明

正式节名为：20.1 勾股定理及其应用；20.2 勾股定理的逆定理及其应用。本页把 20.1 分成两个学习课时，课时副标题为学习提示。

节名已与公开的2026春人教版八下电子课本目录核对。例题与练习由鼓捣星球编写（折竹题为常见题型改编），并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。

读懂一道，算对一道。暂时卡住时，先画图找直角，再从头看例题。

解题模型 · 初中几何与函数

在本单元基础上继续学：适用条件、为什么成立、示意图与易错题。

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哪条边是斜边？

配套动画

三课时，把规则学扎实

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

先自己想，再看下一步

例题1：没说斜边，就要分两种

例题2：用赵爽弦图证明勾股定理

例题3：梯子往下滑，梯脚移多远？

例题4：折竹问题：设未知数列方程

例题5：蚂蚁爬盒子：先展开，再比较

例题6：中考常见综合题型

知识点速看

巧算妙招

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

中考真题

轮到你，把方法用出来

第1题

第2题

第3题

第4题

第5题

第6题

第7题

第8题

第9题

第10题

第11题

第12题

本章练习完成

解题模型 · 初中几何与函数