全等三角形

能完全重合，对应的边和角都相等。
判定全等，三个条件缺一不可。

两块完全相同的三角形拼板翻转后重合 — 两块一样的三角形拼板，翻过来能完全重合。

判定全等，要凑齐三个条件

SSS · SAS · ASA · AAS任意三角形

HL只用于直角三角形

边边角（SSA）和角角角（AAA）不能判定全等。

配套动画：全等三角形：先找对应，再写全等，约 1 分钟。点击播放。

按 2022 年版课标修订的人教版八上第十四章（2025 年秋季起使用）。14.2 分成两个学习课时。

四课时，把规则学扎实

先读“学什么”，再用易错反例检查自己。

第1课时

14.1 全等三角形及其性质

能完全重合，对应元素都相等

学什么

能够完全重合的两个图形叫全等形。能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。

$△ A B C$ 与 $△ D E F$ 全等，记作 $△ A B C ≌ △ D E F$ ，读作“全等于”。书写时，对应顶点要写在对应位置上。

性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

把一块三角尺移到另一块完全一样的三角尺上，两块完全重合 — 把一块三角尺移到另一块上，能完全重合的两个三角形叫全等三角形。

考点

由 $△ A B C ≌ △ D E F$ 直接读出： $A B ＝ D E$ ， $B C ＝ E F$ ， $∠ B ＝ ∠ E$ 。
全等三角形的周长、面积也相等。
在图中找对应：公共边、公共角、对顶角往往是对应元素。

易错点

对应顶点写错位。比如 A 对 D、B 对 F，就不能写成 $△ A B C ≌ △ D E F$ ，要写成 $△ A B C ≌ △ D F E$ 。先找对应，再写全等。

第2课时

14.2 三角形全等的判定

SSS 与 SAS

学什么

边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等。

边角边（SAS）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

证明格式：在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 中，列出三个条件，用大括号括起来，最后写“ $∴ △ A B C ≌ △ D E F$ （SAS）”。

两边及其中一边的对角相等，三角形却不唯一

BC₁＝BC₂，AB 公共，∠A 公共，但 △ABC₁ 和 △ABC₂ 明显不全等：“边边角”不能判定全等。

考点

用 SAS 时，角必须是两边的夹角。
公共边是隐含条件，要写“ $A C ＝ A C$ （公共边）”。
证出全等后，再用“对应边相等”证线段相等，这是常见的两步走。

易错点

把“两边和其中一边的对角”（边边角，SSA）当成判定方法。看上面的图：同样的两边和一个对角，能画出两个不同的三角形。

练一练：全等判定 SSS

练一练：全等判定 SAS

第3课时

14.2 三角形全等的判定

ASA、AAS 与直角三角形的 HL

学什么

角边角（ASA）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。

角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

五种判定方法
方法	条件	适用
SSS	三边	所有三角形
SAS	两边及夹角	所有三角形
ASA	两角及夹边	所有三角形
AAS	两角及一角的对边	所有三角形
HL	斜边和一条直角边	只用于直角三角形

考点

找隐含条件：公共边、公共角、对顶角，以及由平行得到的等角。
线段和差： $B F ＝ C E$ 两边同加 $F C$ ，得 $B C ＝ E F$ 。
用 HL 时要先写出两个三角形是直角三角形，记作 $R t △$ 。

易错点

以为“角角角（AAA）”也能判定全等。三个角相等只说明形状一样，大小可以不同，比如两块大小不同的 $30 °$ 三角尺。

练一练：全等判定 ASA

练一练：全等判定 AAS

练一练：全等判定 HL

第4课时

14.3 角的平分线

到角两边距离相等

学什么

性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

角平分线上的点到角两边的距离相等

D 在 ∠BAC 的平分线上，DC⊥AC，DE⊥AB，所以 DE＝DC。

尺规作角平分线：以顶点为圆心画弧交两边于两点，再分别以这两点为圆心、相同半径画弧，两弧交于一点，连接顶点和交点。依据是 SSS。

三角形三条角平分线交于一点，这点到三边距离相等。

用圆规和直尺作角平分线：两段弧交于一点，连接顶点和交点 — 用圆规和直尺作角的平分线（示意图，作图步骤见正文）。

考点

求点到边的距离：在角平分线上，直接等于到另一边的距离。
求面积： $S_{△ A B D} ＝ \frac{1}{2} \times A B \times D E$ ，而 $D E ＝ C D$ 。
三角形周长为 $l$ ，内角平分线交点到边的距离为 $r$ ，面积 $S ＝ \frac{1}{2} l r$ 。

易错点

距离不是随便连的线段，一定是垂线段。用性质前，先画出（或确认）两条垂线。

练一练：角平分线的性质

先自己想，再看下一步

六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：由全等读出对应元素

已知 $△ A B C ≌ △ D E F$ ， $A B ＝ 5$ ， $∠ B ＝ 40 °$ ， $∠ A ＝ 70 °$ 。求 $D E$ 、 $∠ E$ 和 $∠ F$ 。

按书写位置找对应：A 对 D，B 对 E，C 对 F。
对应边相等： $D E ＝ A B ＝ 5$ ；对应角相等： $∠ E ＝ ∠ B ＝ 40 °$ 。
$∠ C$ $＝ 180 ° - 70 ° - 40 °$ $＝ 70 °$ ，所以 $∠ F ＝ ∠ C ＝ 70 °$ 。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：用 SAS 证全等

已知 $A B ＝ A D$ ， $∠ B A C ＝ ∠ D A C$ 。求证 $△ A B C ≌ △ A D C$ ，并说明 $B C ＝ D C$ 。（A、B、C、D 组成一个“筝形”，AC 是对角线。）

找条件：已知一组边 $A B ＝ A D$ 、一组角 $∠ B A C ＝ ∠ D A C$ ，还缺一边。
隐含条件： $A C ＝ A C$ （公共边）。角 $∠ B A C$ 恰好是 $A B$ 、 $A C$ 的夹角。
在 $△ A B C$ 和 $△ A D C$ 中， $A B ＝ A D$ ， $∠ B A C ＝ ∠ D A C$ ， $A C ＝ A C$ ，所以 $△ A B C ≌ △ A D C$ （SAS）。
全等三角形对应边相等，所以 $B C ＝ D C$ 。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题3：为什么“边边角”不行

小明说：“ $A B$ 相等、 $B C$ 相等、 $∠ A$ 相等，两个三角形就全等。”用画图说明他错在哪里。

两边及其中一边的对角相等，三角形却不唯一

BC₁＝BC₂，AB 公共，∠A 公共，但 △ABC₁ 和 △ABC₂ 明显不全等：“边边角”不能判定全等。

先画 $∠ A ＝ 40 °$ ，在一边上截取 $A B$ 。
以 B 为圆心、 $B C$ 长为半径画弧，弧和 $∠ A$ 的另一边有两个交点 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 。
$△ A B C_{1}$ 和 $△ A B C_{2}$ 都满足条件，却不全等。所以“边边角”不能判定全等， $∠ A$ 不是 $A B$ 、 $B C$ 的夹角。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题4：用 AAS 证全等

如图，点 B、F、C、E 在同一条直线上， $B F ＝ C E$ ， $A B ∥ D E$ ， $∠ A ＝ ∠ D$ 。求证 $A C ＝ D F$ 。

B、F、C、E 在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE

由平行得角： $A B ∥ D E$ ，所以 $∠ B ＝ ∠ E$ （内错角相等）。
由线段和得边： $B F ＝ C E$ ，两边都加 $F C$ ，得 $B C ＝ E F$ 。
$∠ A ＝ ∠ D$ ， $∠ B ＝ ∠ E$ ， $B C ＝ E F$ ， $B C$ 是 $∠ A$ 的对边，所以 $△ A B C ≌ △ D E F$ （AAS）。
对应边相等， $A C ＝ D F$ 。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题5：用 HL 证直角三角形全等

点 C、D 在线段 $A B$ 的同侧， $∠ A C B ＝ ∠ B D A ＝ 90 °$ ， $A C ＝ B D$ 。求证 $B C ＝ A D$ 。

$△ A B C$ 和 $△ B A D$ 都是直角三角形，直角分别在 C、D，斜边都是 $A B$ 。
在 $R t △ A B C$ 和 $R t △ B A D$ 中， $A B ＝ B A$ （公共斜边）， $A C ＝ B D$ （直角边）。
所以 $R t △ A B C ≌ R t △ B A D$ （HL），对应边 $B C ＝ A D$ 。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题6：角平分线求面积

在 $△ A B C$ 中， $∠ C ＝ 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ ， $C D ＝ 3$ ， $A B ＝ 10$ 。求 $△ A B D$ 的面积。

角平分线上的点到角两边的距离相等

D 在 ∠BAC 的平分线上，DC⊥AC，DE⊥AB，所以 DE＝DC。

过 D 作 $D E ⊥ A B$ 于 E。 $△ A B D$ 以 $A B$ 为底，高就是 $D E$ 。
D 在 $∠ B A C$ 的平分线上， $D C ⊥ A C$ ， $D E ⊥ A B$ ，所以 $D E ＝ D C ＝ 3$ 。
$S_{△ A B D} ＝ \frac{1}{2} \times 10 \times 3 ＝ 15$ 。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

知识点速看

第十四章全等三角形

全等三角形对应边相等、对应角相等。
判定：SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有 HL；SSA、AAA 不能判定。
隐含条件：公共边、公共角、对顶角。
角平分线上的点到角两边距离相等；反过来也成立。

巧算妙招

这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。

妙招 1

判定全等，五种方法；「边边角」不行

先想一想

两个三角形有两条边和一个角分别相等，一定全等吗？

怎么做

判定一般三角形全等有四种：SSS（三边）、SAS（两边及夹角）、ASA（两角及夹边）、AAS（两角及其中一角的对边）。直角三角形还有 HL（斜边和一条直角边）。注意：SAS 的角必须是两边的夹角；两边和其中一边的对角相等（SSA）不能判定全等。

例题

判断：（1）AB ＝ DE，BC ＝ EF，∠B ＝ ∠E；（2）AB ＝ DE，BC ＝ EF，∠A ＝ ∠D。

（1）∠B 是 AB 和 BC 的夹角，SAS，全等。
（2）∠A 不是 AB、BC 的夹角，是边边角，不能判定全等。

什么时候能用

判断和证明三角形全等。

容易用错的地方

用 SSA 证全等。
AAA 也不行：三个角相等，大小可能不一样。

妙招 2

先找图中「白送」的条件：公共边、公共角、对顶角

先想一想

已知 AB ＝ AD，∠BAC ＝ ∠DAC，证 △ABC ≌ △ADC，还差一个条件，去哪儿找？

怎么做

题目只给两个条件时，第三个往往藏在图里。先看两个三角形有没有共用的一条边（公共边）、共用的一个角（公共角），或者有没有一对对顶角。这些不用题目说，自己就相等。

例题

AB ＝ AD，∠BAC ＝ ∠DAC，证 △ABC ≌ △ADC。

AB ＝ AD（已知）。
∠BAC ＝ ∠DAC（已知）。
AC ＝ AC（公共边）。
∠BAC 是 AB 和 AC 的夹角，所以由 SAS，△ABC ≌ △ADC。

什么时候能用

证明全等时找条件；有时还要用「等量加等量」：AB ＝ DE 时，AB ＋ BE ＝ DE ＋ BE。

容易用错的地方

对应顶点写错位置，△ABC ≌ △ADC 中 B 对应 D。
证明时不写「公共边」理由。

妙招 3

角平分线上的点到两边距离相等，求面积很有用

先想一想

△ABC 中，AD 平分 ∠BAC，点 D 到 AB 的距离是 3，AC ＝ 8，△ADC 的面积是多少？没给 AC 上的高啊。

怎么做

角平分线上的点到角两边的距离相等。D 到 AB 的距离是 3，那么 D 到 AC 的距离也是 3，这就是 △ADC 以 AC 为底的高。

例题

AD 平分 ∠BAC，D 到 AB 的距离是 3，AC ＝ 8，求 △ADC 的面积。

D 在 ∠BAC 的平分线上，D 到 AC 的距离＝ D 到 AB 的距离＝ 3。
S△ADC ＝ 8 × 3 ÷ 2 ＝ 12。

什么时候能用

角平分线和面积、距离的问题；反过来，到角两边距离相等的点在角平分线上。

容易用错的地方

把 D 到边的距离当成 D 到顶点的线段长。距离是垂线段的长。
只记住了性质，忘了逆定理。

中考真题

下面两道是江苏中考里用全等判定（ASA、SSS）的解答题。图是我们按题意自绘的，不是试卷扫描件。

2023 江苏南京中考第19题

平行四边形中用 ASA 证明线段相等

知识点：平行四边形对角线互相平分；平行线的内错角相等；ASA 判定全等

如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M、N 分别在边 BC、AD 上，且 AM∥CN，对角线 BD 分别交 AM、CN 于点 E、F。求证 BE＝DF。

示意图（自绘，不是原卷扫描）

查看答案与讲解

答案：BE＝DF（证明见下面各步）

平行四边形的两条对角线互相平分。连接另一条对角线 AC，设 AC 与 BD 交于点 O。那么 AO＝CO，BO＝DO。点 O 把 BD 分成两半，这是后面要把 BE 和 DF 对上的「中间站」。
已知 AM∥CN，AC 是一条截线，内错角相等：∠OAE＝∠OCF。
BD 自己在 O 点交叉，对顶角相等：∠AOE＝∠COF。
现在看 △AOE 和 △COF：∠OAE＝∠OCF（刚才的内错角）；AO＝CO（对角线互相平分）；∠AOE＝∠COF（对顶角）。这正好是「两角和它们的夹边」分别相等：夹边就是 AO 和 CO。所以 △AOE≌△COF（ASA）。
全等三角形的对应边相等，对应顶点按书写顺序：A 对 C，O 对 O，E 对 F，所以 OE＝OF。
由平行四边形的中心对称（或直接看点的位置），E 落在线段 BO 上，F 落在线段 DO 上。于是 BE＝BO－OE，DF＝DO－OF。
因为 BO＝DO 且 OE＝OF，所以 BE＝DF。

独立验算：对应关系不写错的话，ASA 给出 OE＝OF 是唯一用到的新等量；再和已有的 BO＝DO 相减，两边同步，结论只能是 BE＝DF。

2024 江苏苏州中考第20题

作弧交点与 SSS，再求底边长

知识点：尺规作图得到 BD＝CD；SSS；等腰三线合一；含 30° 的直角三角形

如图，在 △ABC 中，AB＝AC，分别以 B、C 为圆心，大于 ¹/₂BC 的长为半径画弧，两弧交于点 D，连接 BD、CD、AD，AD 与 BC 交于点 E。

（1）求证：△ABD≌△ACD；

（2）若 BD＝2，∠BDC＝120°，求 BC 的长。

示意图（自绘；点 D 与点 A 分居 BC 两侧）

查看答案与讲解

答案：（1）见证明；（2）2√3

第（1）问：作图时，两个圆的半径一样长，圆心分别是 B 和 C，交点是 D，所以 BD＝CD（都等于所取的那个半径）。
题目还告诉 AB＝AC。AD 是 △ABD 和 △ACD 共用的边，所以 AD＝AD。
这样三边分别相等：AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD。所以 △ABD≌△ACD（SSS）。
为什么半径要大于 ¹/₂BC？因为如果半径太短，两个圆相交不上，就没有点 D。这是作图能作出交点的条件，证明全等时直接用「作图得 BD＝CD」即可。
第（2）问：由（1）已经知道 BD＝CD，所以 △BDC 是等腰三角形，顶角是 ∠BDC＝120°。两个底角相等：∠DBC＝∠DCB＝（180°－120°）÷2＝30°。
回到大三角形：AB＝AC，并且由全等还可以得到 ∠BAD＝∠CAD，以及 BE＝CE（对应边）。也就是说 AD 既是顶角平分线，又是底边 BC 上的中线。等腰三角形三线合一：它同时还是底边上的高，所以 AD⊥BC，∠BED＝90°。
看直角三角形 BDE：直角在 E，∠DBE＝30°（就是刚才的底角）。斜边是对着直角的 BD，BD＝2。30° 角对着的直角边是 DE，所以 DE＝¹/₂×2＝1。在含 30°－60° 的直角三角形里，60° 所对的边是 30° 所对边的 √3 倍，所以 BE＝√3。
E 是 BC 中点，所以 BC＝2BE＝2√3。

独立验算：△BDC 中 BD＝CD＝2，夹角 120°，由余弦定理 BC²＝2²＋2²－2·2·2·cos120°＝4＋4－8×（－¹/₂）＝8＋4＝12，BC＝√12＝2√3。与上面一致。有的转写把第（2）问答案写成 2，那是错的。

轮到你，把方法用出来

12 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。

填空只填一个数，度数不写“°”。

第1题

下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（）。

查看解法

“两边及其中一边的对角”是 SSA，可以画出两个不同的三角形，见例题3。

第2题

$△ A B C ≌ △ D E F$ ， $A B ＝ 5$ ， $D E$ 等于多少？

你的答案

查看解法

$D E$ 与 $A B$ 是对应边，等于 5。

第3题

$△ A B C ≌ △ D E F$ ， $∠ B ＝ 40 °$ ， $∠ E$ 是多少度？

你的答案

查看解法

对应角相等， $∠ E ＝ 40 °$ 。

第4题

已知 $A B ＝ A D$ ， $∠ B A C ＝ ∠ D A C$ ，证明 $△ A B C ≌ △ A D C$ 用的判定方法是（）。

查看解法

$A B ＝ A D$ ，夹角 $∠ B A C ＝ ∠ D A C$ ， $A C ＝ A C$ ，是 SAS。

第5题

在 $△ A B C$ 中， $∠ C ＝ 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $C D ＝ 3$ 。点 D 到 $A B$ 的距离是多少？

你的答案

查看解法

$D C ⊥ A C$ ，所以 D 到 AC 的距离是 3，到 AB 的距离也是 3。

第6题

“三个角分别相等的两个三角形全等”，这句话（）。

查看解法

角角角不能判定全等。

第7题

只适用于直角三角形的全等判定方法是（）。

查看解法

HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

第8题

$△ A B C ≌ △ D E F$ ， $△ A B C$ 的周长是 20， $A B ＝ 6$ ， $B C ＝ 8$ 。 $D F$ 等于多少？

你的答案

查看解法

$A C ＝ 20 - 6 - 8 ＝ 6$ ， $D F ＝ A C ＝ 6$ 。

第9题

已知 $A B ＝ D E$ ， $∠ B ＝ ∠ E$ ，要用 SAS 证明 $△ A B C ≌ △ D E F$ ，还需要的条件是（）。

查看解法

∠B 夹在 AB、BC 之间，∠E 夹在 DE、EF 之间，所以需要 $B C ＝ E F$ 。

第10题

在 $△ A B C$ 中， $∠ C ＝ 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ ， $C D ＝ 4$ ， $A B ＝ 12$ 。 $△ A B D$ 的面积是多少？

你的答案

查看解法

$S ＝ \frac{1}{2} \times 12 \times 4 ＝ 24$ 。

第11题

用尺规作一个角的平分线，所作射线是角平分线的依据是（）。

查看解法

两段半径相等、两段等弧半径相等，再加公共边，三边分别相等，用的是 SSS。

第12题

$△ A B C$ 的周长是 20，三条角平分线交于点 O，点 O 到 $B C$ 的距离是 3。 $△ A B C$ 的面积是多少？

你的答案

查看解法

连 OA、OB、OC，把三角形分成三块，面积 $\frac{1}{2} \times (A B + B C + C A) \times 3$ $＝ \frac{1}{2} \times 20 \times 3$ $＝ 30$ 。

作答只在本页内存中处理，不保存、不上传。刷新页面后重新开始。

教材节名与学习说明

正式节名为：14.1 全等三角形及其性质；14.2 三角形全等的判定；14.3 角的平分线。本页把 14.2 分成两个学习课时（SSS、SAS 一课时，ASA、AAS、HL 一课时），课时副标题为学习提示。

节名已与公开的人教版（2024）八年级上册新教材目录核对。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。

证全等之前，先在图上把已知相等的边和角做上记号，再看还缺哪一个条件。

解题模型 · 初中几何与函数

在本单元基础上继续学：适用条件、为什么成立、示意图与易错题。

进入初中几何与函数专题（11个主题） · 全部解题模型

判定全等，要凑齐三个条件

四课时，把规则学扎实

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

练一练：全等判定 SSS

练一练：全等判定 SAS

学什么

考点

易错点

练一练：全等判定 ASA

练一练：全等判定 AAS

练一练：全等判定 HL

学什么

考点

易错点

练一练：角平分线的性质

先自己想，再看下一步

例题1：由全等读出对应元素

例题2：用 SAS 证全等

例题3：为什么“边边角”不行

例题4：用 AAS 证全等

例题5：用 HL 证直角三角形全等

例题6：角平分线求面积

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巧算妙招

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

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容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

中考真题

轮到你，把方法用出来

第1题

第2题

第3题

第4题

第5题

第6题

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第8题

第9题

第10题

第11题

第12题

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解题模型 · 初中几何与函数