沿一条直线对折，两边完全重合。
中垂线上的点，到两端一样远。
等腰三角形、最短路径，都是轴对称在起作用。
按 2022 年版课标修订的人教版八上第十五章（2025 年秋季起使用）。15.3 分成两个学习课时，最后一课时是本章的综合与实践。
先读“学什么”，再用易错反例检查自己。
第1课时
轴对称的性质；线段的垂直平分线
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线是它的对称轴。两个图形沿一条直线折叠后能重合，就说这两个图形关于这条直线对称。
性质：对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫这条线段的垂直平分线（中垂线）。
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。反过来，与线段两端距离相等的点在它的垂直平分线上。
D 在 AB 的垂直平分线上，所以 DB＝DA。△BCD 的周长＝BD＋DC＋BC＝AD＋DC＋BC＝AC＋BC。
把两个性质记混：垂直平分线管“到两个点的距离”相等，角平分线管“到两条边的距离”相等。
第2课时
作对称图形与坐标中的对称
作一个图形关于某条直线的对称图形：先找出图形上的关键点（如顶点），分别作出它们的对称点，再按原来的顺序连接。
| 关于谁对称 | 对称点 | 怎么记 |
|---|---|---|
| x 轴 | (a，−b) | 横坐标不变 |
| y 轴 | (−a，b) | 纵坐标不变 |
点图上的虚线圆圈，查看每个关键点的含义。
关于哪条轴对称，那条轴对应的坐标不变，另一个坐标变号。
两种对称记反。口诀：关于哪条轴对称，哪个坐标不变。关于 x 轴，x 不变；关于 y 轴，y 不变。
第3课时
等边对等角，三线合一
性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。等腰三角形是轴对称图形，对称轴就是这条线所在的直线。
AB＝AC 时，AD⊥BC、BD＝DC、∠BAD＝∠CAD，知道一个就能推出另外两个。
没分类。“等腰三角形有一个角是 ”，它可能是顶角，也可能是底角，答案有两组。
第4课时
等腰三角形的判定；等边三角形；30° 角
判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。
等边三角形：三个内角都相等，每个角都是 。判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。
含 30° 角的直角三角形：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
把“30° 所对的边是斜边的一半”用在非直角三角形里。前提必须是直角三角形，而且是 角所对的直角边。
第5课时
将军饮马：照镜子再连线
问题：直线 同侧有两点 A、B，在 上找一点 P，使 最小。
方法：作 A 关于 的对称点 ，连接 ，与 的交点就是 P。
道理： 是 的垂直平分线，所以 ，。两点之间线段最短，、P、B 共线时最小。
点图上的虚线圆圈，查看每个关键点的含义。
PA＋PB＝PA′＋PB，当 A′、P、B 在一条直线上时最短。
不作对称，直接把 A、B 连起来。同侧两点的连线和直线 没有交点，必须先把一个点“照镜子”到对岸。
六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。
在 中，，， 的垂直平分线交 于 。求 的周长。
D 在 AB 的垂直平分线上，所以 DB＝DA。△BCD 的周长＝BD＋DC＋BC＝AD＋DC＋BC＝AC＋BC。
D 在 的垂直平分线上，所以 。
周长
， 的周长是 13。不用知道 D 的具体位置。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
（1）写出点 关于 轴、 轴的对称点。（2）点 与点 关于 轴对称，求 、。
（1）关于 轴：横坐标不变，纵坐标变号，得 。关于 轴：纵坐标不变，横坐标变号，得 。
（2）关于 轴对称，纵坐标相等：。
横坐标互为相反数：。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
等腰三角形的一个内角是 ，求另外两个角。
情况一： 是顶角。两个底角相等：，另外两个角是 、。
情况二： 是底角。另一个底角也是 ，顶角
两种都成立：另外两个角是 、，或 、。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
在 中，，， 于 ，。求 和 。
AB＝AC 时，AD⊥BC、BD＝DC、∠BAD＝∠CAD，知道一个就能推出另外两个。
， 是底边上的高。由三线合一， 也是中线和顶角平分线。
中线：。
角平分线：。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
在 中，，，， 是斜边上的高。求 和 。
，它所对的直角边是 ：。
在 中，，所以 。
所对的直角边是 ，斜边是 ：。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
在平面直角坐标系中，、。在 轴上找一点 ，使 最小，写出 的坐标。
点图上的虚线圆圈，查看每个关键点的含义。
PA＋PB＝PA′＋PB，当 A′、P、B 在一条直线上时最短。
A、B 在 轴同侧，不能直接连。作 A 关于 轴的对称点 ，则 。
，当 、P、B 在同一直线上时最小。连接 。
从 到 ，向右 3 格、向上 6 格，即每向右 1 格向上 2 格。从 向右 1 格正好到 轴，所以 。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。
妙招 1
△ABC 中，AB 的垂直平分线交 BC 于 D，AC ＝ 5，BC ＝ 8，△ACD 的周长是多少？AD 和 CD 都不知道，怎么办？
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。D 在 AB 的垂直平分线上，所以 DA ＝ DB。△ACD 的周长 ＝ AC ＋ CD ＋ DA ＝ AC ＋ CD ＋ DB ＝ AC ＋ BC。
AB 的垂直平分线交 BC 于 D，AC ＝ 5，BC ＝ 8，求 △ACD 的周长。
有垂直平分线的周长、线段问题。
妙招 2
等腰三角形两边长 3 和 7，周长是多少？一个角是 40°，另外两个角是多少？
只说了边长而没说哪条是腰，就分「这条是腰」和「那条是腰」两种情况，每种都要检查能不能构成三角形。只说了一个角，就分「它是顶角」和「它是底角」（钝角只能是顶角）。
（1）等腰三角形两边 3 和 7，求周长；（2）一个角是 40°，求另两个角。
等腰三角形的边、角计算。
妙招 3
A、B 两村在河的同一侧，要在河边建一个水站 P，使 PA ＋ PB 最短，P 建在哪里？
作 A 关于河（直线 l）的对称点 A′。河上任意一点 P 都有 PA ＝ PA′，所以 PA ＋ PB ＝ PA′ ＋ PB。A′ 和 B 在河的两侧，两点之间线段最短，连接 A′B，和河的交点就是 P。最短距离就是 A′B 的长。
A、B 在直线 l 同侧，A 关于 l 的对称点是 A′，A′B ＝ 10。PA ＋ PB 最小是多少？
最短路径问题（将军饮马）；在坐标轴上找一点使距离和最小。
下面几道用到垂直平分线「到两端距离相等」，以及含 30° 的直角三角形。轴对称里的「将军饮马」、角平分线求面积，题干还没对到可以一字不差公开的程度，先不硬凑。
2025 江苏连云港中考第5题
知识点：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；用来把未知边「搬」成已知边
如图，在 △ABC 中，BC＝7，AB 的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 D、E，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 F、G，则 △AEG 的周长为（ ）
答案：C
2024 江苏镇江中考第6题
知识点：线段垂直平分线上的点到两端距离相等
如图，△ABC 的边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，连接 BD。若 AC＝8，CD＝5，则 BD＝______。
答案：3
2025 江苏南通中考第13题
知识点：直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半
南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构。如图是屋架设计图的一部分，E 是斜梁 AC 的中点，立柱 AD、EF 垂直于横梁 BC。若 AC＝4.8 m，∠C＝30°，则 EF 的长为 ______ m。
答案：1.2
角平分线性质求面积、将军饮马（最短路径）两类，目前检索到的江苏中考题要么缺图缺字母，要么网页把关键数字滤掉了。按「不编造真题」的规矩，核对完整后再补。
12 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。
填空只填一个数，度数不写“°”，负数带负号。
点 关于 轴的对称点的纵坐标是多少？
对称点是 ，纵坐标是 3。
点 关于 轴的对称点是（ ）。
横坐标变号，得 。
等腰三角形的一个角是 40°，另外两个角是（ ）。
见例题3，两种情况都成立。
在直角三角形中，，，斜边 ， 等于多少？
。
在 中，，， 的垂直平分线交 于 。 的周长是多少？
周长 。
下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）。
一般的平行四边形沿任何直线折叠都不能重合，它不是轴对称图形。
等腰三角形的顶角是 100°，它的一个底角是多少度？
等腰三角形 中，，， 于 。 等于多少？
。
到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的（ ）上。
与线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
点 与点 关于 轴对称， 等于多少？
，，。
等腰三角形的两边长分别是 4 和 9，它的周长是多少？
4、4、9 中 ，不行；9、9、4 可以，周长 22。
A、B 两个村庄在河的同一侧，要在河边建一个水站 P，使 PA＋PB 最小。正确的作法是（ ）。
，，三点共线时最短。
作答只在本页内存中处理，不保存、不上传。刷新页面后重新开始。
正式节名为：15.1 图形的轴对称（含轴对称及其性质、线段的垂直平分线）；15.2 画轴对称的图形；15.3 等腰三角形（15.3.1 等腰三角形，15.3.2 等边三角形）；综合与实践 最短路径问题。含 30° 角的直角三角形的性质放在第4课时，课本中位于 15.3.2 等边三角形。用坐标表示轴对称（关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标）在 15.2 画轴对称的图形。
节名已与公开的人教版（2024）八年级上册新教材目录核对。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。
做对称题，先问自己：对称轴是哪条？哪两个点是对应点？
