相似

学什么

形状相同的图形叫相似图形。放大镜下的图、同一张照片洗出的大小两张，都是相似图形。大小可以不同，形状必须相同。

相似多边形：对应角相等，对应边成比例。对应边的比叫相似比。

比例线段：四条线段中，如果 $a:b＝c:d$，就说它们成比例。比例的基本性质：

${\displaystyle \frac{a}{b}＝\frac{c}{d}\iff ad＝bc}$

若 $a:b＝b:c$，则 $b^2＝ac$，$b$ 叫 $a$、$c$ 的比例中项。

考点

• 两个正方形、两个等边三角形、两个圆一定相似；两个矩形、两个菱形不一定相似。
• $\frac{a}{b}＝\frac{2}{3}$，设 $a＝2k$，$b＝3k$，就能求 $\frac{a+b}{b}＝\frac{5}{3}$。
• 黄金分割：点 C 把 AB 分成 AC、BC 两段（$AC>BC$），且 $A{C}^2＝BC·AB$，$\frac{AC}{AB}＝\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$。

学什么

基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

常见两种图：A 字形（截线在三角形内部）和 8 字形（截线在两边延长线上）。

考点

• A 字形中 $DE\parallel BC$：$\frac{AD}{DB}＝\frac{AE}{EC}$，$\frac{AD}{AB}＝\frac{AE}{AC}＝\frac{DE}{BC}$。
• 口诀：AD∶DB＝AE∶EC（上比下）；AD∶AB＝AE∶AC＝DE∶BC（上比全，也就是相似比）。
• $AD＝3$，$DB＝6$，$AE＝2$：$EC＝4$。

学什么

判定两个三角形相似，有四种方法：

1. 平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2. 三边成比例的两个三角形相似。
3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
4. 两角分别相等的两个三角形相似（最常用）。

直角三角形中，斜边上的高把它分成的两个小三角形，都和原三角形相似：

${\displaystyle C{D}^2＝AD·BD}$

${\displaystyle A{C}^2＝AD·AB}$

考点

• 先找角：公共角、对顶角、直角，再找一组相等的角，就能用“两角相等”。
• 写相似时把对应顶点按顺序写，△ACD∽△ABC 表示 A 对 A、C 对 B、D 对 C。
• Rt△ABC 中 $\angle ACB＝90°$，$CD\perp AB$，$AD＝4$，$BD＝9$：$CD＝\sqrt{4\times 9}＝6$。

学什么

相似三角形对应角相等、对应边成比例。设相似比为 $k$：

• 对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 $k$。
• 周长比等于 $k$。
• 面积比等于 $k^2$。

想一想：边长都变成 2 倍，周长是 2 倍，面积是 $2^2＝4$ 倍。

考点

• 相似比 2∶3：周长比 2∶3，面积比 4∶9。
• 面积比 9∶16：先开方得相似比 3∶4，对应高之比也是 3∶4。
• DE∥BC，AD∶DB＝1∶2：AD∶AB＝1∶3，S△ADE∶S△ABC＝1∶9。

学什么

测量不能直接到达的高度或距离，先找到（或造出）两个相似三角形，再用对应边成比例。

• 影子：同一时刻，太阳光是平行光，物高与影长成比例：人高∶人影＝树高∶树影。
• 镜子：光的反射角等于入射角，人和物体各与镜面组成一个直角三角形，两者相似。
• 标杆：人眼、标杆顶、物体顶在一条直线上，构造两个相似的直角三角形。

考点

• 身高 1.6 米的人影长 2 米，同一时刻旗杆影长 15 米：旗杆高 12 米。
• 眼睛离地 1.5 米，人到镜子 2 米，镜子到楼 12 米：楼高 9 米。
• 列比例时“高对高、影对影”，同一类量放在同一位置。

学什么

两个相似图形，如果对应点的连线都经过同一点，对应边互相平行（或在一条直线上），这两个图形叫位似图形，这个点叫位似中心，相似比也叫位似比。像投影灯照出的影子。

平面直角坐标系中，以原点为位似中心、位似比为 $k$：

${\displaystyle (x，y)\to (kx，ky)}$

${\displaystyle \text{或}(x，y)\to (-kx，-ky)}$

同侧放大是乘 k，在原点另一侧是乘 −k。

考点

• 点 (2，3) 以原点为位似中心、位似比为 2：对应点 (4，6) 或 (−4，−6)。
• 位似图形一定相似，相似图形不一定位似。
• 画位似图形：连位似中心和各顶点，按位似比在射线上（或反向延长线上）取点。