锐角三角函数

直角三角形里，一个锐角定了，三条边的比就定了。
sin、cos、tan 就是这三个比的名字。

一架梯子斜靠在墙上，与墙和地面组成直角三角形 — 梯子、墙和地面组成直角三角形；梯子越陡，倾斜角越大。

先认清三条边

\sin A ＝ \frac{a}{c} ， \cos A ＝ \frac{b}{c}

对边比斜边，邻边比斜边

\tan A ＝ \frac{a}{b}

对边比邻边

a、b、c 分别是 ∠A 的对边、邻边和斜边。换成 ∠B，对边和邻边互换，斜边不变。

配套动画：锐角三角函数：用角求边，用边求角，约 1 分钟。点击播放。

按 2022 年版课标修订的人教版九下第三十二章（新版九下 2027 年春季起使用）。旧版是第二十八章“锐角三角函数”，新版 32.1 的节名改为“正弦、余弦与正切”。

六课时，把规则学扎实

先读“学什么”，再用易错反例检查自己。

第1课时

32.1 正弦、余弦与正切

锐角的正弦

学什么

在 Rt△ABC 中， $∠ C ＝ 90 °$ 。把 ∠A 的对边记作 $a$ ，斜边记作 $c$ 。

只要 ∠A 的大小不变，不论三角形画多大， $\frac{a}{c}$ 都不变。原因是这些直角三角形都有一个直角和一个相等的 ∠A，两角相等，彼此相似，对应边的比相等。

这个比叫 ∠A 的正弦：

$\sin A ＝ \frac{∠ A 的对边}{斜边} ＝ \frac{a}{c}$

直角三角形中 ∠A 的三条边

sin A＝a/c，cos A＝b/c，tan A＝a/b。对边、邻边是相对某个锐角说的：对 ∠B 来说，AC 是对边，BC 是邻边。

孩子在草地上放风筝，风筝线绷直斜向天空 — 风筝线长一定时，线与地面的夹角越大，风筝飞得越高。

考点

AC＝4，BC＝3， $∠ C ＝ 90 °$ ：先用勾股定理 $A B ＝ 5$ ， $\sin A ＝ \frac{3}{5}$ 。
正弦值只和角的大小有关，和边长无关。锐角的正弦满足 $0 < \sin A < 1$ 。
$\sin A$ 是一个整体，不是 sin 乘 A。

易错点

把邻边当成对边。先找到 ∠A，再看哪条直角边“对着”它（不挨着 A 的那条）。

非直角三角形不能直接用“对边比斜边”，要先作高造出直角三角形。

第2课时

32.1 正弦、余弦与正切

余弦、正切及相互关系

学什么

同样在 Rt△ABC 中， $∠ C ＝ 90 °$ ，∠A 的邻边记作 $b$ ：

$\cos A ＝ \frac{邻边}{斜边} ＝ \frac{b}{c}$

$\tan A ＝ \frac{对边}{邻边} ＝ \frac{a}{b}$

∠A 的正弦、余弦、正切统称 ∠A 的锐角三角函数。

三条有用的关系（由勾股定理和定义推出）：

$\sin^{2} A + \cos^{2} A ＝ 1$

$\tan A ＝ \frac{\sin A}{\cos A}$

互余的两个角： $∠ A + ∠ B ＝ 90 °$ 时， $\sin A ＝ \cos B$ ， $\cos A ＝ \sin B$ 。

考点

已知一个三角函数值，设 $a ＝ 5 k$ 、 $c ＝ 13 k$ ，用勾股定理求第三边 $b ＝ 12 k$ ，其余的值就都能求。
∠A 的对边正好是 ∠B 的邻边，所以 $\sin A ＝ \cos B$ 。
锐角 A 增大时， $\sin A$ 增大， $\cos A$ 减小， $\tan A$ 增大。

易错点

$\sin^{2} A$ 表示 ${(\sin A)}^{2}$ ，不是 $\sin (A^{2})$ 。

求 tan B 时还拿 ∠A 的对边、邻边去算。换了角，对边和邻边就要互换。

第3课时

32.1 正弦、余弦与正切

特殊角的三角函数值

学什么

30°、45°、60° 的三角函数值从两块三角尺读出来，不需要死背：

两块三角尺

30° 角所对的直角边是斜边的一半；等腰直角三角形斜边是直角边的 √2 倍。特殊角的值都从这两块三角尺读出来。

特殊角的三角函数值
	30°	45°	60°
sin	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
cos	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
tan	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

例如 30° 的三角尺：对边 1、邻边 √3、斜边 2，所以 $\sin 30 ° ＝ \frac{1}{2}$ ， $\cos 30 ° ＝ \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\tan 30 ° ＝ \frac{1}{\sqrt{3}} ＝ \frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

考点

$2 \sin 30 ° + \tan 45 ° - \cos 60 °$ ＝ $1 + 1 - \frac{1}{2} ＝ \frac{3}{2}$ 。
反过来用： $\sin A ＝ \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，A 是锐角，则 $∠ A ＝ 60 °$ 。
其他角的三角函数值用计算器求；已知函数值求角，用计算器的 sin⁻¹、cos⁻¹、tan⁻¹ 键。

易错点

把 $\sin 30 °$ 和 $\cos 30 °$ 记反。记法：sin 这一行从小到大是 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，cos 这一行正好倒过来。

第4课时

32.2 解直角三角形及其应用

解直角三角形

学什么

直角三角形有 5 个可求的元素：三条边、两个锐角。由已知元素求出其余元素，叫解直角三角形。

可用的关系：

三边： $a^{2} + b^{2} ＝ c^{2}$
两锐角： $∠ A + ∠ B ＝ 90 °$
边角： $\sin A ＝ \frac{a}{c}$ ， $\cos A ＝ \frac{b}{c}$ ， $\tan A ＝ \frac{a}{b}$

除直角外，只要知道两个元素，其中至少有一个是边，就能解出这个直角三角形。

考点

已知斜边和一个锐角：对边＝斜边×sin，邻边＝斜边×cos。
已知两条直角边：先求斜边，再用 tan 求角。
选关系式的原则：用已知量直接求未知量，尽量用乘法、少用除法，尽量用原始数据。

易错点

只知道两个角，解不出三角形：相似的三角形有无数个，边长不确定。

斜边乘 sin 得到的是对边，乘 cos 得到的是邻边，别弄反。

第5课时

32.2 解直角三角形及其应用

应用：仰角与俯角

学什么

实际问题先画出示意图，找到（或作高造出）直角三角形，把实际问题变成解直角三角形。

视线和水平线的夹角：视线在上方时叫仰角，在下方时叫俯角。

仰角与俯角

视线在水平线上方，与水平线的夹角叫仰角；在下方叫俯角。两种角都从水平线量起，不从竖直线量。

同学用测角仪仰望高楼楼顶，视线与水平线形成仰角 — 视线与水平线的夹角就是仰角，测出它就能算楼高。

考点

从 A 看楼顶 B 仰角 30°、看楼底 C 俯角 45°，AD＝30：BD＝30 tan 30°，CD＝30 tan 45°。
楼被水平线 AD 分成上下两段，两段分别在两个直角三角形里，各求再相加。
距离树 30 米，仰角 60°：树高＝30 tan 60°＝30√3 米（不计眼睛高度）。

易错点

把仰角画成视线与竖直线的夹角。仰角、俯角都从水平线量起。

题目给了测量仪的高度（眼睛离地的高度），最后要把它加上。

第6课时

32.2 解直角三角形及其应用

应用：坡度与方位角

学什么

坡面的铅垂高度 $h$ 和水平宽度 $l$ 的比叫坡度（坡比），记作 $i$ ；坡面与水平面的夹角 $α$ 叫坡角：

$i ＝ h ∶ l ＝ \tan α$

坡度与坡角

坡度 i＝h∶l＝tan α。坡度越大，坡越陡。

方位角：以正北或正南为准，说偏东或偏西多少度，例如“北偏东 30°”。

方位角

A 在 O 的北偏东 30° 方向，B 在 O 的南偏西 45° 方向（也叫西南方向）。先说南北，再说偏东还是偏西。

河堤横截面的斜坡，有人沿坡面行走 — 河堤斜坡有陡有缓，坡度就是铅直高度与水平宽度的比。

考点

坡度 $1 ∶ \sqrt{3}$ ： $\tan α ＝ \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，坡角 30°。
坡度 1∶2，坝高 3 米：水平宽度 6 米。
B 在 A 的北偏东 40°，那么 A 在 B 的南偏西 40°。

易错点

坡度是“高比宽”，不是“高比坡面长”。坡面长要再用勾股定理或 sin 求。

方位角先说南北再说东西，如“北偏东 30°”。小学学过的“东偏北 60°”表示同一个方向，初中解题统一用“北偏东 30°”这种说法。

先自己想，再看下一步

六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：由边求三角函数值

在 Rt△ABC 中， $∠ C ＝ 90 °$ ， $A C ＝ 4$ ， $B C ＝ 3$ 。求 ∠A 的正弦、余弦和正切。

直角三角形中 ∠A 的三条边

sin A＝a/c，cos A＝b/c，tan A＝a/b。对边、邻边是相对某个锐角说的：对 ∠B 来说，AC 是对边，BC 是邻边。

先用勾股定理求斜边：
$A B ＝ \sqrt{A C^{2} + B C^{2}}$
$＝ \sqrt{16 + 9} ＝ 5$
对 ∠A：对边是 BC＝3，邻边是 AC＝4，斜边是 AB＝5：
$\sin A ＝ \frac{3}{5}$
$\cos A ＝ \frac{4}{5}$
$\tan A ＝ \frac{3}{4}$
检验： ${(\frac{3}{5})}^{2} + {(\frac{4}{5})}^{2} ＝ \frac{9}{25} + \frac{16}{25} ＝ 1$ 。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：已知一个值，求其余的值

∠A 是锐角， $\sin A ＝ \frac{5}{13}$ 。求 $\cos A$ 和 $\tan A$ 。

画一个 Rt△ABC，∠C＝90°。sin A＝对边∶斜边＝5∶13，设
$B C ＝ 5 k$
$A B ＝ 13 k （ k > 0 ）$
用勾股定理求邻边：
$A C ＝ \sqrt{{(13 k)}^{2} - {(5 k)}^{2}}$
$＝ 12 k$
所以
$\cos A ＝ \frac{12 k}{13 k} ＝ \frac{12}{13}$
$\tan A ＝ \frac{5 k}{12 k} ＝ \frac{5}{12}$

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题3：特殊角的计算

计算：① $2 \sin 30 ° + \tan 45 ° - \cos 60 °$ ；② $\sin^{2} 45 ° + \tan 60 ° \cdot \cos 30 °$ 。

① 代入 sin 30°＝1/2，tan 45°＝1，cos 60°＝1/2：
$2 \times \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} ＝ \frac{3}{2}$
② sin 45°＝√2/2，所以 sin²45°＝(√2/2)²＝1/2。
tan 60°＝√3，cos 30°＝√3/2：
$\frac{1}{2} + \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} ＝ \frac{1}{2} + \frac{3}{2} ＝ 2$

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题4：已知两边解直角三角形

在 Rt△ABC 中， $∠ C ＝ 90 °$ ， $B C ＝ 2$ ， $A C ＝ 2 \sqrt{3}$ 。解这个直角三角形。

求斜边：
$A B ＝ \sqrt{2^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$
$＝ \sqrt{16} ＝ 4$
求 ∠A：BC 是 ∠A 的对边，AC 是邻边：
$\tan A ＝ \frac{2}{2 \sqrt{3}} ＝ \frac{\sqrt{3}}{3}$
$∠ A ＝ 30 °$
两锐角互余：
$∠ B ＝ 90 ° - 30 ° ＝ 60 °$
检验：30° 角所对的 BC＝2，正好是斜边 4 的一半。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题5：仰角和俯角求楼高

从 A 处看一栋楼，看楼顶 B 的仰角是 30°，看楼底 C 的俯角是 45°，A 到楼的水平距离 $A D ＝ 30$ 米。求楼高 BC（结果保留根号）。

仰角与俯角

视线在水平线上方，与水平线的夹角叫仰角；在下方叫俯角。两种角都从水平线量起，不从竖直线量。

水平线 AD 把楼分成 BD、DC 两段，△ABD、△ACD 都是直角三角形。
在 Rt△ABD 中，∠BAD＝30°：
$B D ＝ A D \cdot \tan 30 °$
$＝ 30 \times \frac{\sqrt{3}}{3}$
$＝ 10 \sqrt{3}$
在 Rt△ACD 中，∠CAD＝45°：
$C D ＝ A D \cdot \tan 45 ° ＝ 30$
楼高：
$B C ＝ B D + C D$
$＝ 30 + 10 \sqrt{3}$
约为 47.3 米。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题6：坡度

一段坡面 AB 长 20 米，坡度 $i ＝ 1 ∶ \sqrt{3}$ 。求坡角 α、坡的铅垂高度 h 和水平宽度 l。

坡度就是坡角的正切：
$\tan α ＝ \frac{1}{\sqrt{3}} ＝ \frac{\sqrt{3}}{3}$
$α ＝ 30 °$
坡面是斜边，高度是 30° 角的对边：
$h ＝ 20 \sin 30 ° ＝ 10$
水平宽度是邻边：
$l ＝ 20 \cos 30 ° ＝ 10 \sqrt{3}$
检验：h∶l＝10∶10√3＝1∶√3。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

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第三十二章锐角三角函数

sin A ＝对边/斜边，cos A ＝邻边/斜边，tan A ＝对边/邻边。
3、4、5 的直角三角形： $s i n A$ $＝ \frac{3}{5}$ ， $c o s A$ $＝ \frac{4}{5}$ ， $t a n A$ $＝ \frac{3}{4}$ 。
$s i n 30 °$ $＝ \frac{1}{2}$ ， $s i n 45 °$ $＝ \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $s i n 60 °$ $＝ \frac{\sqrt{3}}{2}$ ；tan 45° ＝ 1。
互余两角：sin A ＝ cos（90° － A）。
仰角俯角都是视线与水平线的夹角；坡度 i ＝竖直高度∶水平宽度。

巧算妙招

这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。

妙招 1

「对比斜」是正弦，「邻比斜」是余弦，「对比邻」是正切

先想一想

Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 3，AC ＝ 4，AB ＝ 5。sin A、cos A、tan A 各是多少？

怎么做

先站在 ∠A 的位置找三条边：∠A 对面的直角边叫对边，挨着 ∠A 的直角边叫邻边，最长的是斜边。sin A ＝对边/斜边，cos A ＝邻边/斜边，tan A ＝对边/邻边。

例题

∠C ＝ 90°，BC ＝ 3，AC ＝ 4，AB ＝ 5，求 ∠A 的三个三角函数值。

∠A 的对边是 BC ＝ 3，邻边是 AC ＝ 4，斜边 AB ＝ 5。
$s i n A$ $＝ \frac{3}{5}$ ， $c o s A$ $＝ \frac{4}{5}$ ， $t a n A$ $＝ \frac{3}{4}$ 。

什么时候能用

求三角函数值；换成 ∠B 时，对边和邻边互换： $s i n B$ $＝ \frac{4}{5}$ 。

容易用错的地方

换了角没有换对边、邻边。
不是直角三角形时，要先作高构造直角三角形。

妙招 2

特殊角的值，记住 1、 $\sqrt{2}$ 、 $\sqrt{3}$ 的规律

先想一想

sin 30°、sin 45°、sin 60° 是多少？cos 60° 呢？

怎么做

正弦 30°、45°、60° 依次是 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ （分子 $\sqrt{1}$ 、 $\sqrt{2}$ 、 $\sqrt{3}$ ，分母都是 2）。余弦正好倒过来： $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 、 $\frac{1}{2}$ 。正切 30°、45°、60° 是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 、1、 $\sqrt{3}$ 。另外，互余的两个角，一个的正弦等于另一个的余弦：sin A ＝ cos（90° － A）。

例题

计算 2sin 30° ＋ tan 45° － cos 60°。

$s i n 30 °$ $＝ \frac{1}{2}$ ，tan 45° ＝ 1， $c o s 60 °$ $＝ \frac{1}{2}$ 。
$2 \times \frac{1}{2} ＋ 1 － \frac{1}{2}$ $＝ 1 ＋ 1 － \frac{1}{2}$ $＝ \frac{3}{2}$ 。

什么时候能用

特殊角的计算；已知 $s i n A$ $＝ \frac{1}{2}$ 求锐角 A ＝ 30°。

容易用错的地方

sin 60° 和 cos 60° 记反。想一想：角越大，对边越长，正弦越大。
tan 45° ＝ 1，不是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

妙招 3

仰角问题，水平线做直角边，别忘了加眼睛的高度

先想一想

在离楼 20 米处测得楼顶的仰角是 45°，测量者眼睛离地 1.5 米。楼有多高？

怎么做

仰角是视线和水平线的夹角。从眼睛画一条水平线到楼，就得到一个直角三角形：水平距离是邻边，楼顶到水平线的高度是对边。用 tan 求出对边，再加上眼睛的高度。

例题

离楼 20 米，仰角 45°，眼高 1.5 米，求楼高。

楼顶到眼睛水平线的高度＝ 20 × tan 45° ＝ 20 × 1 ＝ 20（米）。
楼高＝ 20 ＋ 1.5 ＝ 21.5（米）。

什么时候能用

仰角、俯角、坡度问题。坡度 i ＝竖直高度∶水平宽度，比如 i ＝ 1∶2 表示升高 1 米要走水平 2 米。

容易用错的地方

忘了加眼睛（测角仪）的高度。
俯角是视线和水平线的夹角，不是和竖直线的夹角。

轮到你，把方法用出来

12 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。

填空只填一个数，不写单位；分数用 / 表示，例如 3/5；根号用 √，例如 30√3；角度填 60 或 60° 都可以。也可点输入框下的符号按钮。

第1题

在 Rt△ABC 中， $∠ C ＝ 90 °$ ， $A C ＝ 4$ ， $B C ＝ 3$ ， $\sin A$ 的值是多少？

你的答案

查看解法

$A B ＝ 5$

$\sin A ＝ \frac{B C}{A B} ＝ \frac{3}{5}$

第2题

在 Rt△ABC 中， $∠ C ＝ 90 °$ ， $A C ＝ 4$ ， $B C ＝ 3$ ， $\tan B$ 的值是多少？

你的答案

查看解法

∠B 的对边是 AC，邻边是 BC： $\tan B ＝ \frac{4}{3}$ 。

第3题

∠A 是锐角， $\sin A ＝ \frac{12}{13}$ ， $\cos A$ 的值是多少？

你的答案

查看解法

$邻边＝ \sqrt{13^{2} - 12^{2}} k ＝ 5 k$

$\cos A ＝ \frac{5}{13}$

第4题

计算 $2 \sin 30 ° + \tan 45 ° - \cos 60 °$ 。

你的答案

查看解法

$2 \times \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} ＝ \frac{3}{2}$

第5题

∠A 是锐角， $\cos A ＝ \frac{1}{2}$ ，∠A 等于多少度？

你的答案

查看解法

cos 60°＝1/2，所以 ∠A＝60°。

第6题

下列等式中，正确的是？

查看解法

$\sin 30 ° ＝ \cos 60 ° ＝ \frac{1}{2}$ 。tan 60°＝√3，cos 45°＝√2/2。

第7题

在 Rt△ABC 中， $∠ C ＝ 90 °$ ， $∠ A ＝ 30 °$ ， $A B ＝ 10$ ， $B C$ 的长是多少？

你的答案

查看解法

$B C ＝ A B \cdot \sin 30 °$

$＝ 10 \times \frac{1}{2} ＝ 5$

第8题

在 Rt△ABC 中， $∠ C ＝ 90 °$ ， $∠ A ＝ 60 °$ ， $A C ＝ 6$ ，斜边 $A B$ 的长是多少？

你的答案

查看解法

$\cos 60 ° ＝ \frac{A C}{A B}$

$\frac{1}{2} ＝ \frac{6}{A B}$

$A B ＝ 12$

第9题

在离树 30 米的地面上，测得树顶的仰角是 60°（不计眼睛高度），树高多少米？（结果保留根号）

你的答案

查看解法

$h ＝ 30 \times \tan 60 ° ＝ 30 \sqrt{3}$

约 52 米。

第10题

B 在 A 的北偏东 40° 方向，那么 A 在 B 的什么方向？

查看解法

北的反方向是南，东的反方向是西，度数不变：南偏西 40°。

第11题

一段坡的坡度是 1∶√3，坡角是多少度？

你的答案

查看解法

$\tan α ＝ \frac{1}{\sqrt{3}} ＝ \frac{\sqrt{3}}{3}$

$α ＝ 30 °$

第12题

河堤横截面的坡度为 1∶2，堤高 3 米，坡的水平宽度是多少米？

你的答案

查看解法

$\frac{3}{l} ＝ \frac{1}{2}$

$l ＝ 6$

作答只在本页内存中处理，不保存、不上传。刷新页面后重新开始。

教材节名与学习说明

正式节名为：32.1 正弦、余弦与正切；32.2 解直角三角形及其应用。32.1 分为正弦、余弦与正切、特殊角三个课时；32.2 分为解直角三角形、仰角俯角、坡度与方位角三个课时。

节名已与教辅资源网站（学科网等）整理的人教版（2024审定）九年级下册新教材章节目录核对；出版社电子课本目录未能直接核对。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。

解题先画直角三角形，标出已知的边和角，再选一个只含一个未知量的关系式。

先认清三条边

六课时，把规则学扎实

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

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学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

先自己想，再看下一步

例题1：由边求三角函数值

例题2：已知一个值，求其余的值

例题3：特殊角的计算

例题4：已知两边解直角三角形

例题5：仰角和俯角求楼高

例题6：坡度

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巧算妙招

先想一想

怎么做

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轮到你，把方法用出来

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