第1步
建模的步骤
设、列、定、求、验
学什么
- 设：选一个量作自变量 x。
- 列：写出目标量（面积、利润……）关于 x 的函数。
- 定：根据实际意义写出 x 的取值范围。
- 求：配方或用顶点公式求最值。
- 验：检查结果是否符合实际，写出方案。
考点
- 二次函数 y＝ax²＋bx＋c（a＜0）在 x＝−b/(2a) 时最大。
- 取值范围决定能不能取到顶点。
易错点
求出顶点就作答，忘了看 x 是否在取值范围内。
生活中的优化问题
“怎样最大、怎样最省”，往往可以写成一个二次函数。
配方找顶点，再看顶点在不在取值范围内。
解优化问题的步骤
设变量，列函数用 x 表示边长、涨价等，用 y 表示面积、利润
定取值范围边长为正，墙长、库存等有限制
求最值并检验顶点在范围内取顶点，不在就看端点
y＝a(x−h)²＋k（a＜0）在 x＝h 时取最大值 k。
按 2022 年版课标修订的人教版九上“综合与实践 生活中的优化问题”（2026 年秋季起使用，在第三十章之后）。本页按“建模步骤—最大面积—最大利润—纸盒容积”四步整理。
四步，找到最优方案
先读“学什么”，再用易错点检查自己。
第2步
最大面积
靠墙围菜园
学什么
用 40 米篱笆靠墙围矩形菜园，垂直于墙的边长 x 米：
S＝x(40−2x)
＝−2(x−10)²＋200
0＜x＜20。x＝10 时 S 最大为 200 平方米，此时平行于墙的边长 20 米。
如果墙只有 18 米长，就要求 40−2x≤18，即 x≥11，顶点 x＝10 取不到，最大值在端点 x＝11 处。
橙色是篱笆，共三段；墙那一边不用篱笆。
考点
- 靠墙时最优是 10 米×20 米，不是正方形；不靠墙、周长一定时，正方形面积才最大。
- 墙长有限时比较顶点与端点。
易错点
把墙那一边也算进篱笆长度。
第3步
最大利润
单件利润×销量
学什么
某商品进价 20 元，售价 30 元时每天卖 200 件，每涨价 1 元少卖 10 件。设涨价 x 元：
W＝(10＋x)(200−10x)
＝−10(x−5)²＋2250
x＝5，即售价 35 元时，每天利润最大为 2250 元。
考点
- 利润＝(售价−进价)×销量。
- x 常受“销量不为负”“价格不超过某值”限制。
易错点
用售价×销量当利润，忘了减进价。
第4步
纸盒的容积
列表探究
学什么
边长 12 cm 的正方形纸板，四角各剪去边长 x cm 的小正方形，折成无盖盒子：
V＝x(12−2x)²（0＜x＜6）
| x | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| V | 100 | 121.5 | 128 | 122.5 | 108 |
V 不是二次函数，可以列表观察：表中 x＝2 时容积最大，为 128 cm³，两边的 1.5、2.5 都比它小。四个侧面的面积和 4x(12−2x)＝−8(x−3)²＋72 是二次函数，x＝3 时最大为 72。
考点
- 不会直接求最值时，用列表、画图估计。
- 剪去部分的边长必须小于原边长的一半。
易错点
以为容积最大和侧面积最大是同一个 x。
先自己想，再看下一步
三道例题。每次只展开一步，也可以从头看。
例题1：靠墙的菜园
用 40 米篱笆靠一面 18 米长的墙围矩形菜园（墙那一边不用篱笆），怎样围面积最大？最大面积是多少？
橙色是篱笆，共三段；墙那一边不用篱笆。
设垂直于墙的边长 x 米，S＝x(40−2x)＝−2(x−10)²＋200。
平行于墙的边 40−2x≤18 且 x＜20，所以 11≤x＜20。
在这个范围内 S 随 x 增大而减小，x＝11 时最大：S＝11×18＝198（平方米）。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
例题2：定价问题
进价 20 元的商品，售价 30 元时每天卖 200 件，售价每涨 1 元每天少卖 10 件。售价定为多少元时每天利润最大？
设涨价 x 元，W＝(10＋x)(200−10x)＝−10x²＋100x＋2000。
配方：W＝−10(x−5)²＋2250，0≤x≤20。
x＝5 时 W 最大为 2250，售价 30＋5＝35 元。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
例题3：纸盒的最大容积
用边长 12 cm 的正方形纸板做无盖盒子，剪去的小正方形边长 x 取 1、2、3、4 中哪个时容积最大？
V＝x(12−2x)²。
x＝1：1×100＝100；x＝2：2×64＝128；x＝3：3×36＝108；x＝4：4×16＝64。
x＝2 时容积最大，为 128 cm³。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
轮到你，把方法用出来
10 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。
填空只填一个数，不写单位。
第1题
S＝−(x−5)²＋30，S 取最大值时 x 等于多少？
查看解法
x＝5 时 S 最大为 30。
第2题
周长 36 米的矩形，面积最大时一边长多少米？
查看解法
S＝x(18−x)＝−(x−9)²＋81，x＝9。
第3题
用 60 米篱笆靠墙围矩形（墙足够长，墙那一边不用篱笆），最大面积是多少平方米？
查看解法
S＝−2(x−15)²＋450，最大 450。
第4题
用 40 米篱笆围一个矩形（不靠墙），最大面积是多少平方米？
查看解法
边长 10 米，面积 100。
第5题
利润 W＝−5(x−15)²＋1125，最大利润是多少？
查看解法
x＝15 时 W 最大为 1125。
第6题
进价 40 元的商品，售价 50 元时每天卖 400 件，每涨 1 元少卖 20 件。售价定为多少元时利润最大？
查看解法
W＝−20x²＋200x＋4000＝−20(x−5)²＋4500，x＝5，售价 55 元。
第7题
S＝−(x−10)²＋100，自变量范围是 12≤x≤20，S 在哪里取最大值？
查看解法
在 12≤x≤20 上 S 随 x 增大而减小，x＝12 时最大。
第8题
边长 12 cm 的正方形纸板剪去四角折成无盖盒，四个侧面面积和最大是多少 cm²？
查看解法
−8(x−3)²＋72，最大 72。
第9题
用 30 米篱笆靠墙围矩形（墙足够长），最大面积是多少平方米？
查看解法
S＝−2(x−7.5)²＋112.5，最大 112.5。
第10题
竖直上抛的小球高度 h＝20t−5t²（米），最大高度是多少米？
查看解法
h＝−5(t−2)²＋20，t＝2 秒时最高 20 米。
本次练习完成
作答只在本页内存中处理，不保存、不上传。刷新页面后重新开始。
教材位置与学习说明
本活动在教材中排在第三十章“直线与圆的位置关系”之后，回到二次函数，用它解决面积、利润等生活中的最优化问题。本页的价格、尺寸都是示例数据。
活动名称与在目录中的位置按人教版（2024 审定）九年级上册目录核对。本页把活动整理成知识卡、例题和练习；例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题，文中数据除特别说明外都是为练习设定的示例数据。本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。
最优解要放回实际检查：边长能不能取到、价格合不合理、件数是不是整数。