反比例函数

x 和 y 的乘积，始终是 k。
先看 k 的正负，再看在哪个象限。

反比例函数，盯住一个 k

y ＝ \frac{k}{x}

k≠0，x≠0

x y ＝ k

图象上每个点的横纵坐标之积都是 k

k 的正负决定图象在哪两个象限，|k| 决定矩形的面积。

配套动画：反比例函数：x 和 y 的乘积一定，约 1 分钟。点击播放。

按 2024 人教版九年级上册第二十七章目录编排。27.2 分成图象与性质、几何意义与交点两个学习课时。

四课时，把规则学扎实

先读“学什么”，再用易错反例检查自己。

第1课时

27.1 反比例函数的概念

两个量的乘积一定

学什么

形如

$y ＝ \frac{k}{x} （ k 是常数， k \neq 0 ）$

的函数叫反比例函数。它也可以写成 $x y ＝ k$ ： $x$ 和 $y$ 的乘积始终等于 $k$ 。自变量 $x$ 不能取 0。

和正比例函数对比： $y ＝ k x$ 是“商一定”（ $\frac{y}{x} ＝ k$ ）， $y ＝ \frac{k}{x}$ 是“积一定”。

求解析式用待定系数法：只有一个待定的 $k$ ，知道图象上一个点就够了， $k ＝ x y$ 。

桌上几张形状不同的彩色卡片和剪刀直尺 — 把卡片的长和宽作为变量，想一想面积一定时怎样变化。

考点

判断： $y ＝ - \frac{3}{x}$ 、 $x y ＝ 5$ 、 $y ＝ \frac{1}{2 x}$ 都是反比例函数； $y ＝ \frac{x}{3}$ 是正比例函数。
图象过 $(2, - 3)$ ： $k ＝ 2 \times (- 3) ＝ - 6$ ， $y ＝ - \frac{6}{x}$ 。
求参数： $y ＝ \frac{m - 1}{x}$ 是反比例函数，要 $m \neq 1$ 。

易错点

把 $y ＝ \frac{k}{x + 1}$ 当成反比例函数。先化简，能写成 y＝k/x（k 是非零常数、x≠0）才是反比例函数。例如 1/(2x)＝(1/2)/x 可以，k/(x＋1)（k≠0）不可以。

把 $y ＝ \frac{1}{x^{2}}$ 当成反比例函数。分母是 $x$ 的一次方才算。

第2课时

27.2 反比例函数的图象和性质

双曲线：k 的正负决定象限和增减

学什么

反比例函数的图象叫双曲线，由两支曲线组成，关于原点对称。

k 的正负与图象
	图象所在象限	增减性（在每个象限内）
$k > 0$	第一、三象限	y 随 x 的增大而减小
$k < 0$	第二、四象限	y 随 x 的增大而增大

双曲线无限接近两条坐标轴，但不会与坐标轴相交。

y＝6/x 与 y＝−6/x 的图象

y＝6/x（k＞0）
y＝−6/x（k＜0）

点图上的虚线圆圈，查看每个关键点的含义。

每一支都越来越贴近坐标轴，但永远碰不到：x 不能取 0，y 也不会等于 0。

考点

$y ＝ \frac{6}{x}$ 在第一、三象限； $y ＝ - \frac{6}{x}$ 在第二、四象限。
由性质求参数： $y ＝ \frac{m - 2}{x}$ 在每个象限内 $y$ 随 $x$ 增大而增大，则 $m - 2 < 0$ ， $m < 2$ 。
比较函数值：两个点在同一个象限，用增减性；不在同一个象限，直接看正负，或者代入算出来。

易错点

增减性不说“在每个象限内”。 $y ＝ \frac{6}{x}$ 中 $x ＝ - 1$ 时 $y ＝ - 6$ ， $x ＝ 1$ 时 $y ＝ 6$ ，跨过 $y$ 轴后函数值反而变大了。所以只能说“在每个象限内，y 随 x 增大而减小”。

第3课时

27.2 反比例函数的图象和性质

k 的几何意义；与一次函数的交点

学什么

从双曲线上任一点 $P (x, y)$ 向两条坐标轴作垂线：

两条垂线与坐标轴围成的矩形面积 $＝ | x | \cdot | y | ＝ | k |$ 。
只向一条坐标轴作垂线，垂足为 $A$ ，连 $O P$ ， $△ O P A$ 的面积 $＝ \frac{| k |}{2}$ 。

由面积求 $k$ ：先得 $| k |$ ，再看图象在哪些象限决定正负。

反比例函数与一次函数的交点：两个解析式联立，解方程。与正比例函数 $y ＝ a x$ 的两个交点关于原点对称。

考点

$P$ 在 $y ＝ \frac{4}{x}$ 上， $P A ⊥ x$ 轴于 $A$ ， $S_{△ O P A} ＝ \frac{4}{2} ＝ 2$ 。
矩形面积为 6，图象在第二、四象限： $| k | ＝ 6$ ， $k ＝ - 6$ 。
$y ＝ 2 x$ 与 $y ＝ \frac{k}{x}$ 交于 $(1, 2)$ ，另一个交点是 $(- 1, - 2)$ 。
比较一次函数与反比例函数的大小，看图象谁在上方，并以交点和 y 轴为分界。

易错点

三角形面积忘了除以 2，或者把 $| k |$ 直接当成 $k$ ，忘了根据象限定符号。

用图象写不等式解集时漏掉 $x ＝ 0$ 这条分界线：双曲线在 $y$ 轴两侧是断开的。

第4课时

27.3 实际问题与反比例函数

总量一定，两个量成反比例

学什么

两个量的乘积是定值，它们就成反比例：

工程：工作总量一定，人数 × 天数＝总量。
行程：路程一定， $t ＝ \frac{s}{v}$ 。
压强：压力一定， $p ＝ \frac{F}{S}$ ，受力面积越大，压强越小。
杠杆：阻力 × 阻力臂＝动力 × 动力臂。阻力和阻力臂不变时，动力臂越长越省力。

雪地里一人穿普通靴陷进雪中，一人穿雪鞋走在雪上 — 雪鞋的情境，帮助理解压力、受力面积与压强。

解题步骤：找出不变的总量 → 写成 $y ＝ \frac{k}{x}$ → 代入求值 → 注意自变量取值范围（通常 $x > 0$ ）。

跷跷板上体重不同的两位同学保持平衡 — 从跷跷板的情境，认识力和力臂之间的关系。

考点

600 个“人·天”的工程， $x$ 人需要 $y$ 天： $y ＝ \frac{600}{x}$ ，20 人需要 30 天。
两站相距 600 千米， $t ＝ \frac{600}{v}$ ，要 2.5 小时到达， $v ＝ 240$ 千米/时。
“至少”“最多”的问题：先用增减性判断，再代入边界值。

易错点

单位不统一。时间有“分”有“时”，面积有平方厘米有平方米，先换成同一个单位再列式。

实际问题里 $x$ 一般只能取正数，图象只有第一象限的一支。

先自己想，再看下一步

六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：待定系数法求解析式

反比例函数的图象经过点 $(2, - 3)$ 。① 求函数解析式；② 判断点 $(- 1, 6)$ 、 $(3, 2)$ 是否在图象上。

① 设 $y ＝ \frac{k}{x}$ ，把 (2，−3) 代入：
$- 3 ＝ \frac{k}{2}$
$k ＝ - 6$
所以
$y ＝ - \frac{6}{x}$
② 判断点在不在图象上，看横纵坐标之积是不是 k＝−6：
$(- 1) \times 6 ＝ - 6$
(−1，6) 在图象上。
$3 \times 2 ＝ 6 \neq - 6$
(3，2) 不在图象上。用“积是不是 k”判断，比代入分式更快。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：由增减性求参数

反比例函数 $y ＝ \frac{m - 2}{x}$ 的图象在每个象限内， $y$ 随 $x$ 的增大而增大。求 $m$ 的取值范围，并说出图象在哪些象限。

在每个象限内 y 随 x 增大而增大，对应 k＜0：
$m - 2 < 0$
$m < 2$
k＜0，图象在第二、四象限。
检验：取 m＝0，y＝−2/x。x＝1 时 y＝−2，x＝2 时 y＝−1，x 变大 y 也变大，符合。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题3：比较函数值：先看在不在同一象限

点 $A (- 2, y_{1})$ 、 $B (- 1, y_{2})$ 、 $C (3, y_{3})$ 都在 $y ＝ \frac{6}{x}$ 的图象上，比较 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小。

k＝6＞0，图象在第一、三象限。A、B 横坐标为负，在第三象限，函数值为负；C 在第一象限，函数值为正。所以 y₃ 最大。
A、B 在同一象限，可以用增减性：在每个象限内 y 随 x 增大而减小。−2＜−1，所以 y₁＞y₂。
结论：
$y_{2} < y_{1} < y_{3}$
代入验算：y₁＝−3，y₂＝−6，y₃＝2，确实 −6＜−3＜2。如果直接说“x 越大 y 越小”，会错得出 y₃ 最小。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题4：k 的几何意义：由面积求 k

点 $P$ 在反比例函数 $y ＝ \frac{k}{x}$ 的图象上，且在第二象限。过 $P$ 作 $P A ⊥ x$ 轴于点 $A$ ， $O$ 为原点， $△ O P A$ 的面积为 3。求 $k$ 。

设 P(x，y)。OA＝|x|，PA＝|y|：
$S_{△ O P A} ＝ \frac{1}{2} | x | \cdot | y |$
$＝ \frac{1}{2} | k |$
$\frac{1}{2} | k | ＝ 3$
$| k | ＝ 6$
所以 k＝6 或 k＝−6。
P 在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，k＝xy＜0：
$k ＝ - 6$

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题5：与一次函数的交点，以及比较大小

一次函数 $y ＝ x + 1$ 与反比例函数 $y ＝ \frac{2}{x}$ 的图象交于两点。① 求交点坐标；② 根据图象，写出 $x + 1 > \frac{2}{x}$ 时 $x$ 的取值范围。

① 联立，两个函数值相等：
$x + 1 ＝ \frac{2}{x}$
两边乘 x（x≠0）：
$x^{2} + x - 2 ＝ 0$
$(x + 2) (x - 1) ＝ 0$
x＝1 时 y＝2；x＝−2 时 y＝−1。交点是 (1，2) 和 (−2，−1)。
y＝x＋1 与 y＝2/x 的图象
- y＝x＋1
- y＝2/x
点图上的虚线圆圈，查看每个关键点的含义。
直线在曲线上方的部分，就是 x＋1＞2/x 的部分。别忘了 x＝0 处双曲线断开。
② 找直线在双曲线上方的部分。分界点是两个交点的横坐标 −2、1，还有双曲线断开的 x＝0：
$- 2 < x < 0 或 x > 1$
取点检验：x＝2 时 3＞1，成立；x＝−1 时 0＞−2，成立；x＝−3 时 −2＞−2/3 不成立；x＝0.5 时 1.5＞4 不成立。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题6：实际问题：总量一定

一个水池装满水 48 立方米，排水时每小时排水量为 $Q$ 立方米，排完需要 $t$ 小时。① 写出 $t$ 关于 $Q$ 的函数解析式；② 要 6 小时排完，每小时排多少？③ 如果每小时最多排 12 立方米，至少要几小时？

① 排水总量一定：Qt＝48，
$t ＝ \frac{48}{Q} （ Q > 0 ）$
② t＝6 时：
$Q ＝ \frac{48}{6} ＝ 8$
每小时排 8 立方米。
③ Q＞0 时，t 随 Q 增大而减小，Q 取最大值 12 时 t 最小：
$t ＝ \frac{48}{12} ＝ 4$
至少要 4 小时。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

知识点速看

第二十七章反比例函数

$y$ $＝ \frac{k}{x}$ （k ≠ 0），图象是双曲线；k ＞ 0 在一、三象限，k ＜ 0 在二、四象限。
增减性只在每个象限内成立。
矩形面积 |k|，三角形面积 |k|/2： $y$ $＝ \frac{6}{x}$ 对应 6 和 3。
一点定解析式：过（2，3），k ＝ 6，x ＝－3 时 y ＝－2。

巧算妙招

这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。

妙招 1

k 的几何意义，矩形面积 |k|，三角形面积 |k|/2

先想一想

点 P 在 $y$ $＝ \frac{6}{x}$ 的图象上，过 P 作 x 轴、y 轴的垂线，围成的矩形面积是多少？

怎么做

P（x，y）在图象上，xy ＝ k。过 P 作两轴的垂线，矩形的长、宽是 |x| 和 |y|，面积就是 |xy| ＝ |k|，和 P 在哪里无关。连接 P 和原点，过 P 作一条轴的垂线，得到的三角形面积是 |k|/2。

例题

P 在 $y$ $＝ \frac{6}{x}$ 上，求矩形面积和三角形面积。

矩形面积＝ |k| ＝ 6。
三角形面积＝ 6 ÷ 2 ＝ 3。
取 P（2，3）检查：矩形 2 × 3 ＝ 6，三角形 2 × 3 ÷ 2 ＝ 3。

什么时候能用

已知面积求 k，注意看图象在哪两个象限确定正负。

容易用错的地方

已知面积 6 求 k，只写 k ＝ 6，没看象限。在二、四象限时 k ＝－6。
三角形面积忘了除以 2。

妙招 2

增减性要说「在每个象限内」

先想一想

A（－1，y₁）、B（2，y₂）都在 $y$ $＝ \frac{6}{x}$ 上。k ＞ 0，y 随 x 增大而减小，所以 y₁ ＞ y₂？

怎么做

反比例函数的增减性只在每一个象限（每一支）内成立。k ＞ 0 时，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小；但跨象限时不能用。两点不在同一象限时，直接代入求值，或者看正负：第一象限 y ＞ 0，第三象限 y ＜ 0。

例题

A（－1，y₁）、B（2，y₂）在 $y$ $＝ \frac{6}{x}$ 上，比较 y₁、y₂。

代入：y₁ ＝ 6/（－1）＝－6，y₂ $＝ \frac{6}{2}$ $＝ 3$ 。
y₁ ＜ y₂。
原因：A 在第三象限，B 在第一象限，不在同一支上，不能直接用增减性。

什么时候能用

比较反比例函数上点的纵坐标。

容易用错的地方

说「y 随 x 增大而减小」，漏了「在每个象限内」。
跨象限比较时套用增减性。

妙招 3

一个点就能确定反比例函数

先想一想

反比例函数图象过点（2，3），当 x ＝－3 时 y 是多少？

怎么做

反比例函数 $y$ $＝ \frac{k}{x}$ 只有一个待定系数 k，所以知道一个点就够了：k ＝ xy。求出 k 以后，再代入别的 x 求 y。

例题

图象过（2，3），求解析式和 x ＝－3 时 y 的值。

k ＝ 2 × 3 ＝ 6， $y$ $＝ \frac{6}{x}$ 。
x ＝－3 时，y ＝ 6/（－3）＝－2。
检查：（－3）×（－2）＝ 6 ＝ k。

什么时候能用

求反比例函数解析式；判断一个点在不在图象上（看 xy 是否等于 k）。

容易用错的地方

写成 $k$ $＝ \frac{y}{x}$ 。反比例函数是 xy ＝ k。
k ＝ 0 时不是反比例函数。

轮到你，把方法用出来

12 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。

填空只填一个数（负数带负号，如 −6），不写单位。也可点输入框下的符号按钮。

第1题

下列函数中，是反比例函数的是？

查看解法

A 是正比例函数；B 分母是 x＋1；D 分母是 x²。只有 C 符合 $y ＝ \frac{k}{x}$ ， $k ＝ - 3$ 。

第2题

反比例函数 $y ＝ \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $(2, - 3)$ ， $k$ 等于多少？

你的答案

查看解法

$k ＝ 2 \times (- 3) ＝ - 6$

第3题

反比例函数 $y ＝ \frac{6}{x}$ 的图象在？

查看解法

$k ＝ 6 > 0$ ，图象在第一、三象限。

第4题

关于反比例函数 $y ＝ - \frac{3}{x}$ ，下列说法正确的是？

查看解法

k＝−3＜0，图象在第二、四象限，在每个象限内 y 随 x 增大而增大。B 少了“在每个象限内”：x＝−1 时 y＝3，x＝1 时 y＝−3，跨象限后变小了。1×3＝3≠−3，D 错。

第5题

反比例函数 $y ＝ \frac{1 - m}{x}$ 的图象在第二、四象限， $m$ 的取值范围是？

查看解法

$1 - m < 0$

$m > 1$

第6题

点 $P$ 在 $y ＝ \frac{4}{x}$ 的图象上，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $A$ ， $O$ 为原点。 $△ O P A$ 的面积是多少？

你的答案

查看解法

$S ＝ \frac{| k |}{2} ＝ \frac{4}{2} ＝ 2$

第7题

过反比例函数 $y ＝ \frac{k}{x}$ 图象上一点分别作两条坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 6，图象在第二、四象限。 $k$ 等于多少？

你的答案

查看解法

$| k | ＝ 6$ ，图象在第二、四象限， $k < 0$ ，所以 $k ＝ - 6$ 。

第8题

点 $A (1, y_{1})$ 、 $B (2, y_{2})$ 、 $C (- 3, y_{3})$ 都在 $y ＝ \frac{6}{x}$ 的图象上，则？

查看解法

$y_{1} ＝ 6$ ， $y_{2} ＝ 3$ ， $y_{3} ＝ - 2$ ，所以 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ 。

第9题

正比例函数 $y ＝ 2 x$ 与反比例函数 $y ＝ \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $(1, 2)$ 和另一点，另一个交点的横坐标是多少？

你的答案

查看解法

交点关于原点对称，另一个交点是 $(- 1, - 2)$ 。验算： $k ＝ 2$ ，联立 $2 x ＝ \frac{2}{x}$ ， $x^{2} ＝ 1$ ， $x ＝ \pm 1$ 。

第10题

一项工程共需 600 个“人·天”（每人效率相同）。每天安排 x 人，需要 y 天完成。安排 20 人，需要多少天？

你的答案

查看解法

$y ＝ \frac{600}{x}$

$x ＝ 20 时 y ＝ 30$

第11题

用撬棍撬石头，阻力为 1200 牛，阻力臂为 0.5 米。动力臂为 1.5 米时，需要的动力是多少牛？

你的答案

查看解法

$F \times 1.5 ＝ 1200 \times 0.5 ＝ 600$

$F ＝ 400$

第12题

两个高铁站相距 600 千米，列车平均速度为 v 千米/时，所用时间为 t 小时。要 2.5 小时到达，平均速度应为多少千米/时？

你的答案

查看解法

$v ＝ \frac{600}{2.5} ＝ 240$

作答只在本页内存中处理，不保存、不上传。刷新页面后重新开始。

教材节名与学习说明

正式节名为：27.1 反比例函数；27.2 反比例函数的图象和性质；27.3 实际问题与反比例函数。本页第1课时标题写作“反比例函数的概念”，把 27.2 分成两个学习课时，课时副标题为学习提示。综合与实践“高铁列车运行中的数量关系”保持即将上线，练习第12题回顾路程关系。

节名按已核对的 2024 人教版九年级上册公开目录整理。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。

比较函数值时，先看点在不在同一个象限。暂时卡住时，先问自己：k 是正是负？