二次根式

先看条件，再化简，最后做运算。
每一步，都有理由。

校园走廊中，两位学生观察由同样大小正方形地砖铺成的方形区域 — 正方形地砖铺出的面积，怎样帮我们找到边长？

根号里，能放什么？

\sqrt{- 4}

在实数范围内无意义

\sqrt{4} ＝ 2

根号内非负，结果也非负

本页都在实数范围内讨论。先把这个条件记住，再往下学。

配套动画

一共 7 条，每条约 1 分钟，讲一个重点。点击播放。

1. 二次根式有意义的条件，约 1 分钟。

2. √(a²)＝|a|，约 1 分钟。

3. (√a)²＝a，非负数相加为 0，约 1 分钟。

4. 乘除法则和最简二次根式，约 1 分钟。

5. 分母有理化，约 1 分钟。

6. 二次根式的加减，约 1 分钟。

7. 混合运算和乘法公式，约 1 分钟。

按 2022 年版课标修订的人教版八下第十九章。19.1 分成两个学习课时，19.2、19.3 各一课时。

四课时，把规则学扎实

先读“学什么”，再用易错反例检查自己。

第1课时

19.1 二次根式及其性质

概念与有意义的条件

学什么

一般地，我们把形如 $\sqrt{a}$ （ $a \geq 0$ ）的式子叫做二次根式。 $\sqrt{a}$ 表示非负数 $a$ 的算术平方根。

要同时记住：被开方数非负，根式的值也非负。

$a \geq 0 ， \sqrt{a} \geq 0$

例如 $\sqrt{0} ＝ 0$ ， $\sqrt{4} ＝ 2$ 。 $\sqrt{4}$ 的值是 2；“4 的平方根”才是 ±2。

手工桌上平放一块四边等长的正方形软木板，旁边是未标刻度的材料样片 — 知道正方形的面积，求边长时只取非负的算术平方根。

考点

单独出现根式： $\sqrt{x - 2}$ 有意义，需要 $x - 2 \geq 0$ ，即 $x \geq 2$ 。
根式在分母： $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ 有意义，需要 $x - 2 > 0$ ，即 $x > 2$ 。
普通分母也要检查： $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 3}$ 要求 $x \geq 2$ 且 $x \neq 3$ 。

易错点

只写“根号里 ≥0”还不够。根式在分母时，等于 0 也不行；分母不在根号里时，同样不能为 0。

本章都在实数范围内讨论： $\sqrt{- 4}$ 没有实数意义，不能算成 −2。

第2课时

19.1 二次根式及其性质

两条性质与绝对值

学什么

先开方再平方，回到被开方数；先平方再开方，得到原数的绝对值。

${(\sqrt{a})}^{2} ＝ a （ a \geq 0 ）$

$\sqrt{a^{2}} ＝ | a | （ a 为实数）$

第二条不要求 $a \geq 0$ 。当 $a < 0$ 时， $| a | ＝ - a$ 。

校园小路上，两位学生分别站在长椅两侧，体会到同一位置的距离 — 方向可以相反，距离总是非负；平方后再开方，要想到绝对值。

考点

遇到 $\sqrt{{(- 3)}^{2}}$ ，先写成 $| - 3 |$ ，结果是 3。
遇到含根式的整体，先判断正负：因为 $\sqrt{2} > 1$ ，所以 $1 - \sqrt{2} < 0$ 。
非负数的和为 0，每一项都为 0。例如 $\sqrt{x - 1} + | y - 2 | ＝ 0$ 可得 $x ＝ 1 ， y ＝ 2$ 。

易错点

不能总把 $\sqrt{a^{2}}$ 写成 $a$ 。反例： $a ＝ - 3$ 时，结果是 3，不是 −3。

不要给 $\sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}}$ 的结果加上 ±。根式的值只有一个，而且非负。

第3课时

19.2 二次根式的乘法与除法

乘除、最简二次根式与分母有理化

学什么

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} ＝ \sqrt{a b}$

乘法条件： $a \geq 0 ， b \geq 0$ 。

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} ＝ \sqrt{\frac{a}{b}}$

除法条件： $a \geq 0 ， b > 0$ 。反过来用，也要满足相同条件。

最简二次根式：被开方数不含分母，也不含除 1 以外能开得尽方的因数或因式。

分母有理化：把分母中的根号化去。分子、分母必须同乘一个非零的式子。

考点

找完全平方因数： $\sqrt{18} ＝ \sqrt{9 \times 2} ＝ 3 \sqrt{2}$ 。
把分母中的根号化去： $\frac{1}{\sqrt{2}} ＝ \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。
含两项的分母可乘共轭式： $\frac{1}{\sqrt{3} - 1} ＝ \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ ，因为 $(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1) ＝ 2$ 。

易错点

$\sqrt{18}$ 是 $3 \sqrt{2}$ ，不是 $9 \sqrt{2}$ ；开方时 $\sqrt{9} ＝ 3$ 。

分母有理化不能只乘分母。例如 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 不等于 $\frac{1}{2}$ 。

第4课时

19.3 二次根式的加法与减法

先化最简，再合并；最后做混合运算

学什么

先把每个二次根式化成最简二次根式。被开方数相同的，可以像同类项一样合并：只把系数相加减，根式部分不变。

$\sqrt{12} + \sqrt{27} ＝ 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

$＝ 5 \sqrt{3}$

混合运算先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。也可恰当地使用乘法公式。

$(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

$＝ 3 - 2 ＝ 1$

考点

合并前化简： $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3} ＝ 4 \sqrt{3}$ 。
平方时保留中间项： ${(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2} ＝ 5 + 2 \sqrt{6}$ 。
不同的最简二次根式不能强行合并。 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 就保留这个和。

易错点

开平方不对加法“分配”：一般不能写 $\sqrt{a + b} ＝ \sqrt{a} + \sqrt{b}$ 。取 $a ＝ b ＝ 1$ ，左边是 $\sqrt{2}$ ，右边是 2。

看到 $\sqrt{12}$ 和 $\sqrt{27}$ 被开方数不同就不合并，会漏掉化简这一步。

先自己想，再看下一步

六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：两个条件，一个也别漏

求式子 $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 3}$ 有意义时 $x$ 的取值范围。

根号内非负：
$x - 2 \geq 0 ， x \geq 2$
分母不能为 0：
$x - 3 \neq 0 ， x \neq 3$
两个条件要同时满足：
$x \geq 2 ，且 x \neq 3$
检验端点：x＝2 时原式为 0，有意义；x＝3 时分母为 0，必须排除。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：绝对值要看整体的正负

化简 $\sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}}$ 。

使用“平方再开方”性质：
$\sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} ＝ | 1 - \sqrt{2} |$
因为 $\sqrt{2} > 1$ ，所以 $1 - \sqrt{2} < 0$ 。绝对值内是负数，去绝对值要变号。
$| 1 - \sqrt{2} | ＝ - (1 - \sqrt{2})$
$＝ \sqrt{2} - 1$
结果大于 0，符合算术平方根非负的要求。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题3：根号里的分母怎样化去？

把 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 化成最简二次根式。

分子非负、分母为正，可以把根号中的商拆开：
$\sqrt{\frac{1}{3}} ＝ \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} ＝ \frac{1}{\sqrt{3}}$
为了化去分母的根号，分子、分母同乘 $\sqrt{3}$ ：
$\frac{1}{\sqrt{3}} ＝ \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}$
分母化为 3，得到最简结果：
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
它也可写成 $\frac{1}{3} \sqrt{3}$ 。根号内没有分母，也没有能开得尽方的因数。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题4：先化简，再合并

计算 $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3}$ 。

手工桌上，若干同样长的蓝绿色纸条并排摆放，旁边留有一条较短红色纸条 — 先辨认相同的“单位长度”，再合并份数；根式部分相同才可以合并。

先找完全平方因数：
$\sqrt{12} ＝ \sqrt{4 \times 3} ＝ 2 \sqrt{3}$
$\sqrt{27} ＝ \sqrt{9 \times 3} ＝ 3 \sqrt{3}$
根式部分相同，只合并系数：
$2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{3}$
$＝ (2 + 3 - 1) \sqrt{3}$
$4 \sqrt{3}$
最后一个 $\sqrt{3}$ 的系数是 1，前面有减号，合并时要减 1。

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例题5：乘法公式也能算根式

计算下面的和，先分别算出两项：

$(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

再加上 ${(\sqrt{2} - 1)}^{2}$ 。

第一项用平方差公式：
$(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$＝ 3 - 2 ＝ 1$
第二项用完全平方公式，别漏中间项：
${(\sqrt{2} - 1)}^{2} ＝ 2 - 2 \sqrt{2} + 1$
$＝ 3 - 2 \sqrt{2}$
把两项相加：
$1 + (3 - 2 \sqrt{2}) ＝ 4 - 2 \sqrt{2}$

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题6：中考常见综合题型

本题为自编练习。设 $A ＝ \sqrt{x + 1}$ ， $B ＝ \sqrt{x - 1}$ ，

$P ＝ (A + B) (A - B)$

$E ＝ P + \sqrt{{(x - 2)}^{2}}$

① 求 A、B 同时有意义时 x 的范围；② 化简 E；③ 当 $x ＝ \sqrt{3}$ 时，求 E 的值。

① 两个根式同时有意义： $x + 1 \geq 0$ 且 $x - 1 \geq 0$ ，所以 $x \geq 1$ 。
② 平方差公式消去前两个根式：
$P ＝ A^{2} - B^{2}$
$＝ (x + 1) - (x - 1) ＝ 2$
平方再开方要带绝对值，因此：
$E ＝ 2 + | x - 2 |$
只知道 x≥1，还不能直接去掉绝对值。
③ 当 $x ＝ \sqrt{3}$ 时，因为 $1 < \sqrt{3} < 2$ ，所以 $x - 2 < 0$ 。
$E ＝ 2 + (2 - \sqrt{3})$
$＝ 4 - \sqrt{3}$

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

知识点速看

第十九章二次根式

$\sqrt{a}$ 表示「哪个不是负数的数平方等于 a」，a 不能是负数。 $\sqrt{9}$ $＝ 3$ 。
化简：找根号里最大的平方数拿出来。 $\sqrt{12}$ $＝ \sqrt{4 \times 3}$ $＝ 2 \sqrt{3}$ 。
乘除： $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ $＝ \sqrt{a b}$ 。 $\sqrt{2} \times \sqrt{8}$ $＝ \sqrt{16}$ $＝ 4$ 。
加减：根号里一样的才能合并，像合并同类项。 $2 \sqrt{3} ＋ 5 \sqrt{3}$ $＝ 7 \sqrt{3}$ ，而 $\sqrt{2} ＋ \sqrt{3}$ 不能合并。
$(\sqrt{a} ＋ \sqrt{b}) (\sqrt{a} － \sqrt{b})$ $＝ a － b$ ，根号就没了。 $(\sqrt{5} ＋ \sqrt{2}) (\sqrt{5} － \sqrt{2})$ $＝ 5 － 2$ $＝ 3$ 。

巧算妙招

这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。

妙招 1

化简根式，一次就找「最大的平方数」

先想一想

化简 $\sqrt{72}$ ，很多同学先拆出一个 4，得到 $2 \sqrt{18}$ ，再拆出一个 9，才得到 $6 \sqrt{2}$ ，一共拆了两轮。能不能一轮就拆完？

怎么做

先把 4、9、16、25、36、49、64、81、100 这几个平方数背熟，它们分别是 2 到 10 的平方。化简一个根式时，从大到小拿这些平方数去试，找到能整除根号里那个数的最大的一个。然后把根号里的数拆成「这个平方数乘剩下的数」，把平方数开出来放到根号外面。为什么能拆开？因为两个数（都不是负数）乘积的算术平方根，等于它们各自的算术平方根相乘。比如 $\sqrt{4 \times 9}$ $＝ \sqrt{36}$ $＝ 6$ ，而 $\sqrt{4} \times \sqrt{9}$ $＝ 2 \times 3$ $＝ 6$ ，一样。

例题

把 $\sqrt{72}$ 化成最简二次根式。

从大往小试：72 除以 64 不是整数，72 除以 49 也不是整数，72 除以 36 等于 2，找到了。
把 72 拆成 36 乘 2： $\sqrt{72}$ $＝ \sqrt{36 \times 2}$ $＝ \sqrt{36} \times \sqrt{2}$ 。
$\sqrt{36}$ 是 6，所以结果是 $6 \sqrt{2}$ 。
检查一下：根号里剩下的 2，已经不能再拆出平方数了，所以这就是最简二次根式。

什么时候能用

化简二次根式；做根式加减法之前，先化简，再看根号里的数是不是一样。比如 $\sqrt{12} ＋ \sqrt{27}$ ，先化成 $2 \sqrt{3} ＋ 3 \sqrt{3}$ ，根号里都是 3，就能合并成 $5 \sqrt{3}$ 。

容易用错的地方

只拆了一个小的平方数就停下来。 $\sqrt{72}$ $＝ \sqrt{4 \times 18}$ $＝ 2 \sqrt{18}$ ，这还没化完，还要接着把 $\sqrt{18}$ 化成 $3 \sqrt{2}$ ，最后 $2 \times 3 \sqrt{2}$ $＝ 6 \sqrt{2}$ 。一开始就找最大的平方数，能省掉这一轮。
开方开错。 $\sqrt{9 \times 2}$ 应该是 $3 \sqrt{2}$ ，不是 $9 \sqrt{2}$ 。9 开出来是 3。
根号里有分数时，要把分母化掉。比如 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ ，分子分母都乘 3，变成 $\sqrt{\frac{3}{9}}$ ，等于 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

妙招 2

「 $\sqrt{a}$ 加 $\sqrt{b}$ 」乘「 $\sqrt{a}$ 减 $\sqrt{b}$ 」，根号会一下子全没了

先想一想

$\frac{1}{\sqrt{5} － \sqrt{3}}$ ，分母里有根号，怎样把它变成一个整数？关键是找一个「搭档」去乘它。

怎么做

先回忆一下平方差公式： $(a ＋ b) (a － b)$ $＝ a^{2} － b^{2}$ 。比如 (7 ＋ 3)(7 － 3) ＝ 10 × 4 ＝ 40，也等于 49 － 9 ＝ 40。换成根式也一样：两个根式相加，乘上它们相减，结果是两个根式各自的平方相减。而一个根式的平方，就是根号里的数，比如 ${(\sqrt{5})}^{2}$ $＝ 5$ ， ${(\sqrt{3})}^{2}$ $＝ 3$ 。所以结果就是两个根号里的数相减，根号全没了。比如 $(\sqrt{5} ＋ \sqrt{3}) (\sqrt{5} － \sqrt{3})$ $＝ 5 － 3$ $＝ 2$ 。

所以分母是「 $\sqrt{5} － \sqrt{3}$ 」时，分子和分母都乘「 $\sqrt{5} ＋ \sqrt{3}$ 」，分母就变成了整数。像 $\sqrt{5} － \sqrt{3}$ 和 $\sqrt{5} ＋ \sqrt{3}$ 这样只差一个符号的两个式子，叫作互为「共轭式」，也就是互相的「搭档」。

例题

把 $\frac{1}{\sqrt{5} － \sqrt{3}}$ 的分母有理化（就是把分母里的根号去掉）。

分母是 $\sqrt{5} － \sqrt{3}$ ，它的搭档是 $\sqrt{5} ＋ \sqrt{3}$ 。分子和分母都乘 $\sqrt{5} ＋ \sqrt{3}$ 。
分母： $(\sqrt{5} － \sqrt{3}) (\sqrt{5} ＋ \sqrt{3})$ $＝ 5 － 3$ $＝ 2$ 。
分子： $1 \times (\sqrt{5} ＋ \sqrt{3})$ $＝ \sqrt{5} ＋ \sqrt{3}$ 。
结果是 $\frac{\sqrt{5} ＋ \sqrt{3}}{2}$ ，分母里已经没有根号了。

什么时候能用

分母有理化；计算像 $(2 \sqrt{3} ＋ \sqrt{2}) (2 \sqrt{3} － \sqrt{2})$ 这样的乘法，直接算 ${(2 \sqrt{3})}^{2} － {(\sqrt{2})}^{2}$ $＝ 12 － 2$ $＝ 10$ 。

容易用错的地方

只乘了分母，忘了乘分子。分子分母要同时乘同一个式子，式子的值才不变。
${(2 \sqrt{3})}^{2}$ 等于 4 × 3 ＝ 12，不是 2 × 3 ＝ 6。根号外面的 2 也要平方。
${(\sqrt{3} ＋ \sqrt{2})}^{2}$ 是自己乘自己，用的是完全平方公式，不是平方差。它等于 $3 ＋ 2 \sqrt{6} ＋ 2$ $＝ 5 ＋ 2 \sqrt{6}$ ，中间的 $2 \sqrt{6}$ 不能漏。

妙招 3

比较根式大小，把根号外面的数移进根号里

先想一想

$3 \sqrt{2}$ 和 $2 \sqrt{3}$ ，哪个大？如果去估算小数， $\sqrt{2}$ 大约 1.414， $\sqrt{3}$ 大约 1.732，又麻烦又容易算错。有没有不用算小数的办法？

怎么做

根号外面的正数，平方以后就能移进根号里。为什么？因为 3 就是 $\sqrt{9}$ ，所以 $3 \sqrt{2}$ $＝ \sqrt{9} \times \sqrt{2}$ ，再合成一个根号，就是 $\sqrt{9 \times 2}$ $＝ \sqrt{18}$ 。把两个根式都这样移进去以后，只要比较根号里的数：根号里的数大，这个根式就大。

例题

比较 $3 \sqrt{2}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 的大小。

$3 \sqrt{2}$ ：3 的平方是 9，移进根号，得到 $\sqrt{9 \times 2}$ $＝ \sqrt{18}$ 。
$2 \sqrt{3}$ ：2 的平方是 4，移进根号，得到 $\sqrt{4 \times 3}$ $＝ \sqrt{12}$ 。
18 比 12 大，所以 $\sqrt{18} ＞ \sqrt{12}$ ，也就是 $3 \sqrt{2} ＞ 2 \sqrt{3}$ 。

什么时候能用

比较几个「数乘根号」形式的数的大小；判断含根式的式子是正还是负。比如 $\sqrt{2}$ 比 1 大，所以 $1 － \sqrt{2}$ 是负数。

容易用错的地方

移进根号时忘了平方。 $3 \sqrt{2}$ 不是 $\sqrt{6}$ ，是 $\sqrt{18}$ 。
根号外面是负数，不能把负号也移进去。 $- 3 \sqrt{2}$ 要写成 $- \sqrt{18}$ ，负号留在外面。比较两个负的根式时，根号里的数越大，这个数反而越小。比如 $- \sqrt{18} ＜ - \sqrt{12}$ 。
化简「一个数平方以后再开根号」，结果是这个数的绝对值，不一定是它自己。比如 $\sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}}$ ，因为 $1 - \sqrt{2}$ 是负数，所以结果是 $| 1 - \sqrt{2} |$ $＝ \sqrt{2} - 1$ 。

轮到你，把方法用出来

12 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。

填空写最简结果。根号可写 √2、sqrt(2) 或根号2；乘号可省略，例如 3√2 或 3*√2。分数建议写 √3/3。也可点输入框下的符号按钮。

第1题

要使 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，x 的取值范围是？

查看解法

由 $x - 2 \geq 0$ ，得 $x \geq 2$ 。x＝2 时根式为 0，有意义。

第2题

要使 $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ 有意义，x 的取值范围是？

查看解法

根式有意义要求 $x - 2 \geq 0$ ；分母不为 0 排除 x＝2。合起来是 $x > 2$ 。

第3题

要使 $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 3}$ 有意义，下面哪个条件完整？

查看解法

根号内要求 $x \geq 2$ ；分母要求 $x \neq 3$ 。二者同时成立，不能漏掉其中任何一个。

根号里，能放什么？

配套动画

四课时，把规则学扎实

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

先自己想，再看下一步

例题1：两个条件，一个也别漏

例题2：绝对值要看整体的正负

例题3：根号里的分母怎样化去？

例题4：先化简，再合并

例题5：乘法公式也能算根式

例题6：中考常见综合题型

知识点速看

巧算妙招

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

轮到你，把方法用出来

第1题

第2题

第3题

第4题

第5题

第6题

第7题

第8题

第9题

第10题

第11题

第12题

本章练习完成