四边形

学什么

本页讨论简单凸多边形。四边形的内角和为360°；从一个顶点作对角线，凸n边形可分成n−2个三角形，所以内角和为(n−2)×180°（n≥3）。

$\text{内角和}＝(n-2)\times 180°$

沿凸多边形的边依次行走，每个顶点取一个同方向的外角，一周共转360°。所以外角和恒为360°。

$\text{对角线总数}＝\frac{n(n-3)}{2}$

考点

• 正六边形的内角和(6−2)×180°＝720°，每个内角120°、外角60°。
• 从一个顶点可引n−3条对角线；n个顶点共数n(n−3)次，每条重复两次，所以除以2。
• 正n边形每个外角为360°÷n；每个内角为180°−360°÷n。

学什么

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形 ABCD 记作“▱ABCD”。

它有三条性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分。

$AB＝CD$

$AD＝BC$

$\angle A＝\angle C$

$\angle B＝\angle D$

另外，因为 AD∥BC，相邻两个角互补：$\angle A+\angle B＝180°$。

考点

• 算周长：周长 ＝ 2×（两邻边之和）。周长 30、AB＝6，则 BC＝15－6＝9。
• 算角度：$\angle A＝110°$，则 $\angle B＝180°-110°＝70°$，$\angle C＝110°$，$\angle D＝70°$。
• 用对角线：AC＝10、BD＝16，则 OA＝5、OB＝8。△AOB 的边用的是对角线的一半。

学什么

满足下面任意一条，四边形就是平行四边形：

• 两组对边分别平行；
• 两组对边分别相等；
• 一组对边平行且相等；
• 对角线互相平分；
• 两组对角分别相等。

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

$DE\parallel BC$

$DE＝\frac{1}{2}BC$

考点

• 选判定：已知 AB∥CD，再加 AB＝CD（一组对边平行且相等）或 AD∥BC（两组对边分别平行）都可以。
• 中位线计算：三边长 6、8、10 的三角形，三条中位线长 3、4、5，围成的三角形周长是 12，正好是原周长的一半。

学什么

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形除了有平行四边形的全部性质，还有：四个角都是直角，对角线相等。

$AC＝BD$

$OA＝OB$

$＝OC$

$＝OD$

由此得到：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

判定矩形：有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；有三个角是直角的四边形。

考点

• 矩形对角线长 10，一条边长 6，另一条边用勾股定理求：$\sqrt{{10}^2-6^2}＝8$，面积 6×8＝48。
• 斜边中线：直角三角形斜边长 10，斜边上的中线长 5。

学什么

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的四条边都相等；对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。

两条对角线把菱形分成 4 个全等的直角三角形，所以面积可以用对角线算：

$S＝\frac{1}{2}ab$

其中 $a$、$b$ 是两条对角线的长。

判定菱形：一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等的四边形。

考点

• 面积两种算法：对角线长 6 和 8，面积 $\frac{1}{2}\times 6\times 8＝24$；边长 $\sqrt{3^2+4^2}＝5$，再用“底×高”，高 ＝ 24÷5 ＝ 4.8。
• 求边长时用的是对角线的一半：3 和 4，不是 6 和 8。

学什么

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形既是矩形，又是菱形，具有它们的全部性质：四条边相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分。

判定正方形：先证它是矩形，再加“一组邻边相等”；或先证它是菱形，再加“一个角是直角”。

考点

• 中点四边形：顺次连接四边形各边中点，得到的一定是平行四边形（用中位线证明）。原四边形对角线相等，得到菱形；对角线垂直，得到矩形；对角线相等且垂直，得到正方形。
• 顺次连接矩形各边中点，得到菱形；顺次连接菱形各边中点，得到矩形。