第1步
两个基本事实
两点之间线段最短
学什么
- 两点之间，线段最短。
- 垂线段最短：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
A、B 在直线 l 的两侧时，直接连接 AB 与 l 的交点就是使 PA＋PB 最小的点 P。
考点
- 说出作图依据：两点之间线段最短。
- 异侧两点直接连线。
易错点
异侧两点也去作对称点。只有同侧时才需要“翻过去”。
最短路径问题
最短路径的诀窍：想办法把折线“拉直”。
同侧两点用轴对称，过河架桥用平移。
两个基本事实，两种变换
两点之间，线段最短三角形两边之和大于第三边
同侧两点：作对称点PA＝PA′，把 PA＋PB 变成 PA′＋PB
隔河两点：先平移桥长固定，把桥“挪走”再连线
所有最短路径问题，最后都要回到“两点之间线段最短”。
按 2022 年版课标修订的人教版八上“综合与实践 最短路径问题”（2025 年秋季起使用，在第十五章之后）。本页按“基本事实—将军饮马—造桥选址—坐标中找点”四步整理。
四步，把折线拉直
先读“学什么”，再用易错点检查自己。
第2步
将军饮马
同侧两点：作轴对称
学什么
A、B 在直线 l 的同侧，在 l 上找一点 P，使 PA＋PB 最小：
- 作 A 关于 l 的对称点 A′；
- 连接 A′B，交 l 于点 P，P 就是所求的点。
理由：l 是 AA′ 的垂直平分线，所以 PA＝PA′，PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B。在 l 上另取一点 P′，P′A′＋P′B＞A′B（三角形两边之和大于第三边）。
PA＋PB＝PA′＋PB，当 A′、P、B 在一条直线上时最短，就是线段 A′B 的长。
考点
- 作对称点、连线、找交点，三步缺一不可。
- PA＋PB 的最小值等于 A′B 的长。
易错点
直接连接 AB 并延长，与 l 交于 P₀。P₀ 不在线段 A′B 上，所以 P₀A＋P₀B＝P₀A′＋P₀B＞A′B，不是最小，必须作对称点。
第3步
造桥选址
隔河两点：先平移
学什么
A、B 两地在一条河（两岸平行，宽 d）的两侧，要建一座垂直于河岸的桥 MN，使 A→M→N→B 路程最短：
- 把 A 沿垂直河岸的方向平移 d，得到 A′；
- 连接 A′B 交河岸 b 于 N，过 N 作河岸的垂线交 a 于 M，MN 就是桥的位置。
理由：由平移的性质，A、M 分别平移到 A′、N，所以 AM＝A′N。桥长 d 固定，只需让 A′N＋NB 最短。
AA′ 平行且等于 MN，所以 AM＝A′N。路程 AM＋MN＋NB＝A′N＋NB＋d，A′、N、B 共线时最短。
考点
- 平移的方向：垂直河岸，指向河；距离：河宽。
- 最短路程＝A′B＋d。
易错点
把桥直接架在 AB 与河的交点处。即使 MN 垂直于河岸，路线 AM＋MN＋NB 也不是最短。应先把 A 沿垂直河岸的方向平移一个河宽得到 A′，连 A′B 交对岸于 N，再作 MN 垂直于河岸。
第4步
在坐标网格中找点
对称点的坐标
学什么
关于 x 轴对称的点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，(x,y)→(x,−y)。
在网格中连接 A′ 和 B，看它经过 x 轴上的哪个格点：如果线段“每向右 1 格就向上 1 格”，就能一格一格数出交点。本页各题的数据都恰好使交点是格点，所以可以数格子。
考点
- 写出对称点坐标。
- 在网格中数出连线与坐标轴的交点。
易错点
关于 x 轴对称时把横坐标变号。关于 x 轴对称，变号的是纵坐标。
先自己想，再看下一步
三道例题。每次只展开一步，也可以从头看。
例题1：将军饮马的作图与说理
A、B 在直线 l 同侧。在 l 上找一点 P，使 PA＋PB 最小，并说明理由。
作 A 关于 l 的对称点 A′，连接 A′B，与 l 交于 P。
l 垂直平分 AA′，所以 PA＝PA′，P 取在 A′B 与 l 的交点处，所以 PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B。
在 l 上任取另一点 P′（P′≠P），同理 P′A＋P′B＝P′A′＋P′B。在 △P′A′B 中，P′A′＋P′B＞A′B。其余各点都严格大于 A′B，所以 P 点使 PA＋PB 最小。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
例题2：网格中的饮马点
在平面直角坐标系中，A(1,3)，B(5,1)，在 x 轴上找一点 P，使 PA＋PB 最小。求 P 的坐标。
A、B 都在 x 轴上方。作 A 关于 x 轴的对称点 A′(1,−3)。
从 A′(1,−3) 到 B(5,1)：向右 4 格、向上 4 格，即每向右 1 格就向上 1 格。
从 A′ 向上 3 格到达 x 轴，同时向右 3 格，横坐标 1＋3＝4。P(4,0)。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
例题3：造桥选址的最短路程
河两岸平行，河宽 3 千米。按“先平移再连线”的方法作出 A′ 后，量得 A′B＝10 千米。从 A 经过桥到 B 的最短路程是多少？
路程＝AM＋MN＋NB，MN＝3。
AM＝A′N，所以 AM＋NB＝A′N＋NB，最小值是 A′B＝10。
最短路程＝10＋3＝13（千米）。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
轮到你，把方法用出来
9 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。
填空只填一个数，不写单位；负数写 −2。
第1题
将军饮马问题最后归结为哪个基本事实？
查看解法
PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，依据是两点之间线段最短。
第2题
点 A(3,2) 关于 x 轴的对称点的纵坐标是多少？
查看解法
对称点 (3,−2)，纵坐标 −2。
第3题
A、B 在直线 l 同侧，求 l 上使 PA＋PB 最小的 P，正确作法是？
查看解法
作对称点 A′，连接 A′B 与 l 的交点就是 P。
第4题
作出对称点后量得 A′B＝10，PA＋PB 的最小值是多少？
查看解法
PA＋PB 最小值＝A′B＝10。
第5题
A(0,2)，B(4,2)，在 x 轴上找 P 使 PA＋PB 最小，P 的横坐标是多少？
查看解法
A′(0,−2) 向上 2 格到 x 轴时向右 2 格，P(2,0)。
第6题
造桥选址问题中，第一步把 A 怎样平移？
查看解法
桥垂直河岸、长为河宽，所以 A 沿垂直河岸的方向平移河宽。
第7题
河宽 3，平移后量得 A′B＝10，从 A 过桥到 B 的最短路程是多少？
查看解法
10＋3＝13。
第8题
A(1,2)，B(3,−2)，在 x 轴上找 P 使 PA＋PB 最小，P 的横坐标是多少？
查看解法
从 A(1,2) 到 B(3,−2)：向右 2 格、向下 4 格，每右 1 格下 2 格。向下 2 格到 x 轴时向右 1 格，P(2,0)。
第9题
将军饮马问题中，为什么 PA＝PA′？
查看解法
A 与 A′ 关于 l 对称，l 垂直平分 AA′，线段垂直平分线上的点到两端距离相等。
本次练习完成
作答只在本页内存中处理，不保存、不上传。刷新页面后重新开始。
教材位置与学习说明
本活动在教材中排在第十五章“轴对称”之后，研究“将军饮马”“造桥选址”等最短路径问题。本页的坐标网格题只用到对称点坐标与数格子，不需要勾股定理。
活动名称与在目录中的位置按人教版（2024 审定）八年级上册目录核对。本页把活动整理成知识卡、例题和练习；例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题，文中数据除特别说明外都是为练习设定的示例数据。本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。
先判断两点在直线同侧还是异侧；同侧作对称点，异侧直接连线；有固定长度的一段（桥）就先平移。