第1步
影子测高
相似三角形
学什么
太阳光可以看成平行光。同一时刻，竖直物体与它的影子组成的直角三角形都相似：
物高∶影长＝竿高∶竿影
量出竹竿高、竹竿影长和建筑影长，就能求建筑高度。
竿高∶竿影＝塔高∶塔影，h＝1.6÷1.2×22.5＝30（米）。
考点
- 必须是同一时刻测量。
- 对应边要对齐：高对高，影对影。
易错点
高和影没对齐，写成 物高∶影长＝竿影∶竿高。应该是 物高∶物影＝竿高∶竿影。
建筑中的数学
一根竹竿和它的影子，就能量出塔有多高。
坡道的坡度、模型的比例、图纸的三视图，处处都是数学。
三类工具
相似三角形同一时刻，物高∶影长相同
锐角三角函数仰角、坡角，tanα＝对边/邻边
比例尺与投影长度比 k，面积比 k²；三视图长对正、高平齐、宽相等
测量题都要画示意图，标出已知量和要求的量。
按 2022 年版课标修订的人教版九下“综合与实践 建筑中的数学”（2027 年春季起使用，在第三十三章之后）。本页按“影子测高—仰角测高—坡道坡度—模型与三视图”四步整理。
四步，读懂一座建筑
先读“学什么”，再用易错点检查自己。
第2步
仰角测高
tanα
学什么
站在离建筑水平距离 d 米处，用测角仪测得建筑顶部的仰角 α，测角仪高 a 米，则
建筑高＝d·tanα＋a
例如 d＝20 米，α＝45°，a＝1.5 米，高＝20＋1.5＝21.5 米。
考点
- 别忘了加上测角仪（或眼睛）的高度。
- 特殊角 tan45°＝1，tan30°＝√3/3，tan60°＝√3。
易错点
只算 d·tanα，漏加测角仪高度。
第3步
坡道的坡度
i＝竖直高度∶水平长度
学什么
坡度 i＝竖直高度∶水平长度，等于坡角 α 的正切 tanα。
无障碍设计规范要求，轮椅坡道的坡度一般不大于 1∶12（受场地限制的改建工程可适当放宽）。本页按 1∶12 计算。入口高 0.5 米时，坡道水平长度至少 0.5×12＝6 米。
坡度就是竖直高度与水平长度的比，也是坡角的正切值。为看清楚，图中竖直方向放大了 2 倍。
考点
- 坡度是比，坡角是角，tanα＝i。
- 已知坡度求水平长度：高度×12。
易错点
把坡度当成“高度∶坡面长”。坡度的分母是水平长度。
第4步
模型与三视图
比例与投影
学什么
比例尺 1∶100 的模型：长度缩小为 1/100，面积缩小为 1/10000。
三视图的规律：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等。
考点
- 面积比等于相似比的平方。
- 由三视图想象立体形状。
易错点
面积也按 1∶100 换算，结果差了 100 倍。
先自己想，再看下一步
三道例题。每次只展开一步，也可以从头看。
例题1：测古塔的高度
同一时刻，1.6 米长的竹竿竖直立在地上，影长 1.2 米；古塔的影长 22.5 米。古塔高多少米？
设塔高 h 米。平行光下两个直角三角形相似。
h∶22.5＝1.6∶1.2。
h＝22.5×1.6÷1.2＝30（米）。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
例题2：设计无障碍坡道
某建筑入口比地面高 0.45 米，坡道坡度按 1∶12 设计，坡道的水平长度至少多少米？
坡度 i＝竖直高度∶水平长度＝1∶12。
水平长度＝0.45×12。
＝5.4（米）。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
例题3：仰角测楼高
在离楼 50 米处，用 1.5 米高的测角仪测得楼顶仰角 α，tanα＝0.6。楼高多少米？
测角仪以上的高度：50×tanα＝50×0.6＝30（米）。
加上测角仪高度：30＋1.5＝31.5（米）。
楼高 31.5 米。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
轮到你，把方法用出来
10 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。
填空只填一个数，不写单位。
第1题
同一时刻，2 米的竹竿影长 1.5 米，塔影长 18 米，塔高多少米？
查看解法
18×2÷1.5＝24（米）。
第2题
入口高 0.36 米，坡道坡度 1∶12，水平长度至少多少米？
查看解法
0.36×12＝4.32（米）。
第3题
坡度 1∶12 的意思是：
查看解法
坡度是竖直高度与水平长度的比。
第4题
比例尺 1∶100 的模型中，楼高 12 厘米，实际楼高多少米？
查看解法
1200 厘米＝12 米。
第5题
比例尺 1∶100 的模型中，一个房间地面是长 6 厘米、宽 5 厘米的长方形，实际面积多少平方米？
查看解法
模型面积 30 平方厘米，30×10000＝300000 平方厘米＝30 平方米（也可先换算：6 米×5 米）。
第6题
离楼 20 米处，用 1.5 米高的测角仪测得楼顶仰角 45°，楼高多少米？
查看解法
20×1＋1.5＝21.5（米）。
第7题
离楼 40 米处，用 1.6 米高的测角仪测得仰角 α，tanα＝0.75，楼高多少米？
查看解法
30＋1.6＝31.6（米）。
第8题
三视图中，主视图与俯视图的关系是：
查看解法
主视图与俯视图长对正。
第9题
一段坡道坡面长 6 米，竖直高度 3 米，坡角是多少度？
查看解法
sinα＝1/2，α＝30°。
第10题
入口高 0.6 米，坡道坡度 1∶12，水平长度至少多少米？
查看解法
7.2 米。
本次练习完成
作答只在本页内存中处理，不保存、不上传。刷新页面后重新开始。
教材位置与学习说明
本活动在教材中排在第三十三章“投影与视图”之后，综合运用相似、锐角三角函数、投影与视图解决建筑中的测量与设计问题。坡道坡度按无障碍设计规范“一般不大于 1∶12”取值，其余数据为示例。
活动名称与在目录中的位置按人教版（2024 审定）九年级下册目录核对。本页把活动整理成知识卡、例题和练习；例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题，文中数据除特别说明外都是为练习设定的示例数据。本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。
可以挑一座身边的建筑，用影子法和仰角法各测一次高度，比较两种结果。