随机事件的概率

学什么

在一定条件下：

• 一定会发生的事件叫必然事件，例如太阳从东方升起。
• 一定不会发生的事件叫不可能事件，例如掷一枚普通骰子出现 7 点。
• 可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，例如掷骰子出现 6 点。

必然事件和不可能事件合称确定性事件。随机事件发生的可能性有大有小。

考点

• 袋中只有红球：摸出红球是必然事件，摸出白球是不可能事件。
• 袋中 5 红 1 白：摸到红球的可能性比摸到白球大。
• “明天下雨”“买彩票中奖”都是随机事件。

学什么

表示一个随机事件 A 发生的可能性大小的数，叫事件 A 的概率，记作 $P\left(A\right)$。

如果一次试验共有 $n$ 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 $m$ 种结果，那么：

${\displaystyle P\left(A\right)＝\frac{m}{n}}$

范围：$0\le P\left(A\right)\le 1$。必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 0。

考点

• 掷一枚骰子，点数大于 4（5 或 6）：$P＝\frac{2}{6}＝\frac{1}{3}$。
• 袋中 3 红 2 白，摸一个是红球：$P＝\frac{3}{5}$。
• 概率是 0.99 表示很可能发生，不表示一定发生。

学什么

一次试验分两步完成（或涉及两个因素），而且结果较多时，用表格把所有等可能的结果不重不漏地列出来，再数事件包含几个。

例：袋中有 2 个红球（记作红1、红2）和 1 个白球，摸一个，记下颜色后放回，再摸一个：

共 9 种等可能结果，两次都是红球的有 4 种（打 ✓），$P＝\frac{4}{9}$。

考点

• 两枚骰子：列 6×6 的表，共 36 种结果。点数和为 7 的有 6 种，概率 1/6。
• 两枚硬币：正正、正反、反正、反反，共 4 种。一正一反的概率是 2/4＝1/2。
• 两个相同颜色的球要编号（红1、红2），才能保证每种结果等可能。

学什么

两步及以上的试验都可以用树状图；三步或更多步时表格画不下，只能用树状图：每一步把可能的结果分出枝条，最后数末端。

同一个袋子（红1、红2、白），摸出一个后不放回，再摸一个：

考点

• 不放回：共 $3\times 2＝6$ 种，两红的有 2 种，$P＝\frac{2}{6}＝\frac{1}{3}$。
• 放回：共 $3\times 3＝9$ 种，两红的有 4 种，$P＝\frac{4}{9}$。
• 甲、乙、丙随机排成一排：树状图共 6 种排法，甲在中间的有 2 种，概率 1/3。

学什么

做 $n$ 次试验，事件 A 发生了 $m$ 次，$\frac{m}{n}$ 叫事件 A 发生的频率。

试验次数很大时，频率会稳定在某个常数附近，可以用这个常数估计事件的概率。

考点

• 结果不等可能，或者无法一一列举时（如图钉落地尖朝上、种子发芽），只能用频率估计概率。
• 频率是试验得到的，每次试验可能不同；概率是一个确定的数。
• 抛硬币 10 次正面 7 次，频率是 0.7，不能说正面的概率是 0.7。

学什么

知道了概率（或稳定的频率），就能反过来估计数量：

• 摸球：红球个数÷总个数≈摸到红球的频率。
• 标记法：鱼塘里先捕一批做标记放回，再捕一批，看带标记的比例。
• 发芽率、合格率：总数×频率≈事件发生的次数。

考点

• 袋中有 5 个红球和若干白球，摸到红球的频率稳定在 0.25：总数约 20，白球约 15。
• 先捕 100 条标记放回，再捕 200 条中有 10 条带标记：鱼约 2000 条。
• 种子发芽率 0.9，种 1000 粒约有 900 粒发芽。