判断位置，比较 d 和 r；证明切线，先看有没有公共点。
内切圆和正多边形，也都落到直角三角形上。
d 是圆心到直线的距离，r 是半径。先求垂直距离 d，再判断直线与圆的位置关系。
按 2024 人教版九年级上册第三十章目录编排。30.1.1 学习直线与圆的三种位置，30.1.2 学习圆的切线；30.2、30.3 分别学习内切圆和正多边形与圆。
先读“学什么”，再用易错反例检查自己。
第1课时
圆心到直线的距离 d 与半径 r
设圆的半径为 。
| 位置关系 | 距离与半径 | 公共点个数 |
|---|---|---|
| 直线与圆相离 | d>r | 0 |
| 直线与圆相切 | d=r | 1（切点） |
| 直线与圆相交 | d<r | 2 |
其中 是圆心到直线的距离。只要算出 再和 比，就能判断位置关系，反过来也成立。
求点到直线的距离，在直角三角形里用面积法：两直角边相乘再除以斜边。
第2课时
切线的判定、性质与切线长
判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。两个条件（过半径外端、垂直于半径）缺一不可。
性质：圆的切线垂直于过切点的半径。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
辅助线口诀：
PA＝PB，OP 平分 ∠APB。∠APB＝60° 时 △PAB 是等边三角形。
“垂直于半径的直线是切线”是错的，必须经过半径的外端（圆上那一端）。
题目已标明圆上的公共点时，通常连半径证垂直；未给出公共点时，可过圆心作直线的垂线，再证垂线段长等于半径。先看清已知条件，再选择辅助线。
第3课时
内心、切线长与内切圆半径
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，它的圆心叫内心，是三条角平分线的交点，到三条边的距离相等。
对比：外心是垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等；内心是角平分线的交点，到三条边距离相等。
面积法：把三角形按内心分成三个小三角形，高都是 ：
直角三角形（直角边 、，斜边 ）：
从同一个顶点出发的两条切线长相等：CE＝CF＝1，AE＝AG＝2，BF＝BG＝3。四边形 CEIF 是正方形，边长就是半径。
内心、外心要分清。在三角形内部，到三边距离相等的点是内心；到三个顶点距离相等的点是外心。
直角三角形的公式 r＝(a＋b－c)/2 只能用于直角三角形，一般三角形用面积法。
第4课时
中心、半径、边心距、中心角
把圆 等分，依次连接各分点，就得到圆的内接正 边形。
半径、边心距和半条边组成直角三角形：
正多边形面积 。
中心角 360°÷6＝60°，△OAB 是等边三角形，所以边长＝半径＝4；由勾股定理，边心距 OM²＝4²－2²＝12，OM＝2√3。
中心角和内角混淆。正六边形的中心角是 60°，内角是 120°；中心角＝360°÷n，内角＝(n－2)×180°÷n。
六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。
在 Rt△ABC 中，，，。以 C 为圆心、 为半径作圆。当 、、 时，直线 AB 与 分别是什么位置关系？
先求斜边：
再用面积法求 C 到 AB 的距离 d。同一个三角形的面积有两种算法：
比较：
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
是 的直径，点 在 的延长线上，点 在 上，。① 求证： 是 的切线。② 若 ， 的半径为 2，求 。
连 OC：OA＝OC 得 ∠A＝∠OCA；直径所对圆周角 ∠ACB＝90°，所以 ∠OCD＝∠OCB＋∠DCB＝∠OCB＋∠OCA＝90°。
① C 是直线 DC 和圆的公共点，连 OC，只需证 OC⊥DC。
OA＝OC（都是半径），所以 ∠A＝∠OCA。
AB 是直径，∠ACB＝90°，即 ∠OCA＋∠OCB＝90°。把 ∠OCA 换成 ∠A，再换成 ∠DCB：
OC⊥DC，OC 是半径，所以 DC 是 ⊙O 的切线。
② Rt△OCD 中 ∠D＝30°，30° 角所对的直角边 OC 是斜边的一半：
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
PA、PB 分别与 相切于点 A、B，，。求 、 和 的半径。
PA＝PB，OP 平分 ∠APB。∠APB＝60° 时 △PAB 是等边三角形。
切线长定理：
△PAB 中 PA＝PB，∠APB＝60°，是等边三角形：
连 OA、OP。切线垂直于过切点的半径，∠OAP＝90°；OP 平分 ∠APB，∠APO＝30°。设半径为 r，30° 角所对直角边是斜边一半：OP＝2r。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
Rt△ABC 中，，，。求它的内切圆半径。
从同一个顶点出发的两条切线长相等：CE＝CF＝1，AE＝AG＝2，BF＝BG＝3。四边形 CEIF 是正方形，边长就是半径。
方法一：切线长。内切圆与 AC、BC 相切于 E、F，四边形 CEIF 有三个直角且 IE＝IF，是正方形，CE＝CF＝r。
于是 AE＝3－r，BF＝4－r。由切线长定理 AG＝AE、BG＝BF，AB＝AG＋BG：
方法二：面积法。
两种方法都得到 r＝1，也就是公式 r＝(a＋b－c)÷2。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
△ABC 中，，，，它的内切圆与 AB、BC、CA 分别相切于 D、E、F。求 、、。
由切线长定理，设 ，，。每条边由两段切线长组成：
三式相加：2(x＋y＋z)＝24，x＋y＋z＝12。
分别减去三个式子：
所以 AD＝4，BE＝3，CF＝5。验算：4＋3＝7，3＋5＝8，4＋5＝9。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
一个正六边形的半径为 4。求它的中心角、边长、边心距和面积。
中心角 360°÷6＝60°，△OAB 是等边三角形，所以边长＝半径＝4；由勾股定理，边心距 OM²＝4²－2²＝12，OM＝2√3。
中心角：
△OAB 中 OA＝OB＝4，∠AOB＝60°，是等边三角形：
边心距 OM 垂直平分 AB，AM＝2：
面积是 6 个 △OAB：
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。
妙招 1
⊙O 的半径为 5，圆心到直线 l 的距离为 3，直线和圆是什么关系？
不用画图，比较 d 和 r：d ＜ r，相交（两个公共点）；d ＝ r，相切（一个公共点）；d ＞ r，相离（没有公共点）。点和圆的关系也一样，比较点到圆心的距离和半径。
r ＝ 5，d 分别为 3、5、6 时，直线与圆什么关系？
判断直线与圆、点与圆的位置关系。
妙招 2
证明一条直线是圆的切线，什么时候连半径，什么时候作垂线？
题目说了直线过圆上某点 A，就连接 OA，证明 OA 垂直于这条直线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是切线）。题目没说直线和圆有公共点，就从圆心 O 作直线的垂线段，证明它的长等于半径。反过来，已知切线，就连接圆心和切点，得到垂直。
AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在圆上，过 C 的直线 l 满足 ∠ACD ＝ ∠B（D 在 l 上，在 A 一侧）。怎样证 l 是切线？
切线的证明题。
妙招 3
直角边为 3、4 的直角三角形，内切圆半径是多少？
把内心和三个顶点连起来，三角形分成三个小三角形，它们的高都是 r。所以 S ＝ r ×（a ＋ b ＋ c）÷ 2，r ＝ 2S/（a ＋ b ＋ c）。直角三角形还有一个快速公式：r ＝（a ＋ b － c）/2，c 是斜边。
直角三角形两直角边 3、4，求内切圆半径。
求内切圆半径；切线长定理（从圆外一点引两条切线，切线长相等）也常和它一起用。
10 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。
填空只填一个数（度数不写“°”），不写单位。根号可点输入框下的 √ 按钮，例如 2√3。
的半径为 5，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，直线 l 与 的位置关系是？
，相交。
圆心 O 到直线 l 的距离为 3，直线 l 与 有两个公共点。 的半径 r 满足？
相交时 ，即 。r＝3 时只有一个公共点。
下列说法正确的是？
A 少了“经过半径外端”；C 有两个公共点就是相交；D 经过圆心的直线与圆相交。B 是切线的判定定理。
PA 与 相切于点 A，，，PA 的长是多少？
，。
PA、PB 分别与 相切于点 A、B，， 等于多少度？
PA、PB 分别与 相切于点 A、B，，，弦 AB 的长是多少？
，， 是等边三角形，。
直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12，它的内切圆半径是多少？
斜边 ，。面积法验算：，。
点 I 是 △ABC 的内心，， 等于多少度？
，，。
半径为 4 的正六边形，边心距是多少？
边长＝半径＝4，半条边 2：。
一个正多边形的中心角是 40°，它是正几边形？
作答只在本页内存中处理，不保存、不上传。刷新页面后重新开始。
正式节名为：30.1 直线与圆（30.1.1 直线与圆相离、相切、相交；30.1.2 圆的切线）；30.2 三角形的内切圆；30.3 正多边形与圆。本页共四个学习课时。点与圆的位置关系、过三点的圆及外心已归入第二十九章 29.1；本章只在内心比较、正多边形外接圆中作回顾引用。综合与实践“生活中的优化问题”保持即将上线。
节名按已核对的 2024 人教版九年级上册公开目录整理。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。
遇到切线，先连圆心和切点；遇到内切圆，先标出相等的切线长。暂时卡住时，回到“比较 d 和 r”。
