圆

遇到弦，作弦心距；遇到直径，找直角。
圆里的计算，大多变成直角三角形。

圆里最常用的两个直角三角形

r^{2} ＝ d^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}

半径、弦心距、半弦

∠ A C B ＝ 90 °

直径所对的圆周角

垂径定理和“直径所对的圆周角是直角”，是本章大部分题目的入口。

配套动画：圆：一条弦，先连半径、作垂线，约 1 分钟。点击播放。

按 2024 人教版九年级上册第二十九章目录编排。29.1.1 包含点与圆的位置关系，29.1.2 学习过三点的圆、外接圆与外心；29.2 的三个小节各设一个学习课时。

六课时，把规则学扎实

先读“学什么”，再用易错反例检查自己。

第1课时

29.1.1 圆的有关概念

弦、直径、弧与点和圆的位置关系

学什么

平面内，到定点 $O$ 的距离等于定长 $r$ 的所有点组成的图形叫圆。 $O$ 是圆心， $r$ 是半径，记作 $⊙ O$ 。圆心定位置，半径定大小。

弦：连接圆上任意两点的线段。经过圆心的弦叫直径，直径是圆中最长的弦。
弧：圆上任意两点间的部分。大于半圆的叫优弧（用三个字母表示，如弧ACB，记作 $\overset{⌒}{A C B}$ ），小于半圆的叫劣弧（如弧AB，记作 $\overset{⌒}{A B}$ ）。半圆也是弧。
等圆：能够重合的两个圆，也就是半径相等的圆。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。

设圆心为 O、半径为 r（r>0），比较点 P 到圆心的距离 OP 与 r：

点与圆的位置关系
位置关系	距离与半径
点在圆外	OP>r
点在圆上	OP＝r
点在圆内	OP<r

考点

直径是弦，但弦不一定是直径。
半圆是弧，但弧不一定是半圆。
“过圆心的线段”不一定是直径，两端都在圆上才是。

易错点

圆只指圆周。OP<r 表示点在圆内，不表示点在圆上；OP＝r 才在圆上。

把“长度相等的弧”当成等弧。两段弧长度相等，弯曲程度可能不同（在大小不同的圆里），不能重合，就不是等弧。等弧必须在同圆或等圆中。

第2课时

29.1.2 过三点的圆

三点确定一个圆、三角形外接圆与外心

学什么

不在同一直线上的三个点确定一个圆。三角形三条边的垂直平分线交于一点，叫外心，它是三角形外接圆的圆心，到三个顶点距离相等。

经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆。作两条边的垂直平分线，交点就是外心；以外心到任一顶点的距离为半径作圆。

考点

直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径＝斜边的一半。直角边 6、8： $R ＝ 5$ 。
三点不能共线；只有两个点时，圆心可在线段的垂直平分线上移动，不能唯一确定一个圆。

易错点

“三点确定一个圆”漏掉条件。三点在同一直线上时，不能作圆。

外心到三个顶点距离相等，它不一定在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点。

第3课时

29.2.1 垂直于弦的直径

垂径定理、弦心距与拱高

学什么

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

计算时一律作弦心距（圆心到弦的垂线段），得到一个直角三角形：

$r^{2} ＝ d^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}$

其中 $r$ 是半径， $d$ 是弦心距， $a$ 是弦长。知道其中两个，就能求第三个。

垂径定理：半弦、弦心距、半径组成直角三角形

OC⊥AB，所以 AC＝BC＝4；Rt△OAC 中 OA²＝OC²＋AC²。

考点

$r ＝ 5$ ，弦长 8：半弦 4， $d ＝ \sqrt{5^{2} - 4^{2}} ＝ 3$ 。
拱桥问题：跨度 16、拱高 4，设半径为 $r$ ，弦心距是 $r - 4$ ： $r^{2} ＝ 8^{2} + {(r - 4)}^{2}$ ， $r ＝ 10$ 。
两条平行弦之间的距离：两弦在圆心同侧时相减，异侧时相加，要分两种情况。

易错点

把整条弦长当成直角边。直角三角形里用的是半弦。

平行弦漏一种情况。题目没给图，弦在圆心同侧、异侧都要考虑。

推论中“不是直径”不能丢：两条直径互相平分，但不一定垂直。

第4课时

29.2.2 圆心角

弧、弦与圆心角的关系

学什么

顶点在圆心的角叫圆心角。圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，由此得到：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

反过来也成立：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组量相等，它们所对应的其余各组量都分别相等（“知一推二”）。

考点

由弧相等推弦相等：弧 AB＝弧 CD，则 AB＝CD，∠AOB＝∠COD。
圆心角是 60° 时，它和两条半径组成等边三角形，弦长等于半径。
把圆周 n 等分：每段弧所对的圆心角都是 360°÷n。

易错点

漏掉“同圆或等圆”。两个大小不同的圆里，相等的圆心角所对的弦并不相等。

弦相等时，弦所对的弧有优弧、劣弧两条，说“弧相等”要说清是哪一条。

第5课时

29.2.3 圆周角

圆周角

学什么

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
同弧或等弧所对的圆周角相等。
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的对角互补；它的一个外角等于它的内对角。

弦 AB 所对的圆周角有两种

C 在优弧上：∠ACB＝50°。D 在劣弧上：∠ADB＝180°－50°＝130°。ACBD 是圆内接四边形，对角互补。

三位同学在球门前不同位置准备射门 — 足球射门的情境，引出从不同位置观察开口的角度。

考点

$∠ A O B ＝ 100 °$ ，C 在优弧上： $∠ A C B ＝ 50 °$ 。
非直径的弦所对的圆周角有两种度数，两者互补（如 50° 和 130°）；直径所对的圆周角都等于 90°。
AB 是直径，看到它就想到“直径所对的圆周角是直角”，连出直角三角形。
圆内接四边形 ABCD 中 ∠A＝70°，则 ∠C＝110°。

易错点

题目未限定圆周角顶点所在的弧，且弦不是直径时，要考虑两种度数；弦为直径时只需写 90°。

把圆周角和圆心角的关系说成“圆周角是圆心角的两倍”。是圆心角大，圆周角是它的一半。

第6课时

29.3 弧长和扇形面积

弧长、扇形面积与圆锥

学什么

圆心角是 $1 °$ 的弧长是整个圆周的 $\frac{1}{360}$ ，所以 $n °$ 的圆心角所对的弧长是：

$l ＝ \frac{n π r}{180}$

扇形面积同理：

$S ＝ \frac{n π r^{2}}{360} ＝ \frac{1}{2} l r$

后一个公式像三角形面积：把弧长 $l$ 当“底”，半径 $r$ 当“高”。

圆锥：侧面展开是一个扇形。扇形的半径是圆锥的母线 $l$ ，扇形的弧长是底面圆的周长 $2 π r$ 。

$S_{侧} ＝ π r l$

$S_{全} ＝ π r l + π r^{2}$

考点

半径 6、圆心角 120° 的扇形： $l ＝ \frac{120 π \times 6}{180} ＝ 4 π$ ， $S ＝ \frac{120 π \times 6^{2}}{360} ＝ 12 π$ 。
圆锥底面半径 3、母线 5：侧面积 $π \times 3 \times 5 ＝ 15 π$ 。
求展开图的圆心角：弧长等于底面周长， $\frac{n π \times 5}{180} ＝ 2 π \times 3$ ， $n ＝ 216$ 。

易错点

圆锥的母线和底面半径混用。侧面积 $π r l$ 中， $r$ 是底面半径， $l$ 是母线；展开扇形的半径是母线。

弧长公式分母写成 360。弧长是 180，面积才是 360。

先自己想，再看下一步

七道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：直角三角形的外接圆：先找斜边中点

直角三角形的两条直角边分别为 6 和 8，求它的外接圆半径，并说明外心的位置。

先用勾股定理求斜边：c＝√(6²＋8²)＝√100＝10。
直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等，所以外心在斜边中点。
外接圆半径等于斜边的一半：R＝10÷2＝5。检验：两条直角边的端点和直角顶点到斜边中点的距离都为 5。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：垂径定理：求弦心距和拱高

$⊙ O$ 的半径为 5，弦 $A B ＝ 8$ 。 $O C ⊥ A B$ 于点 $C$ ，延长 $O C$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ 。求 $O C$ 和 $C D$ 。

垂径定理：半弦、弦心距、半径组成直角三角形

OC⊥AB，所以 AC＝BC＝4；Rt△OAC 中 OA²＝OC²＋AC²。

由垂径定理，OC⊥AB，所以 C 是 AB 中点：
$A C ＝ \frac{1}{2} A B ＝ 4$
连 OA，在 Rt△OAC 中，OA 是半径 5：
$O C ＝ \sqrt{O A^{2} - A C^{2}}$
$＝ \sqrt{25 - 16} ＝ 3$
OD 也是半径：
$C D ＝ O D - O C$
$＝ 5 - 3 ＝ 2$
CD 就是弦 AB 所对劣弧的“拱高”。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题3：平行弦：两种位置都要算

$⊙ O$ 的半径为 5，弦 $A B ∥ C D$ ， $A B ＝ 8$ ， $C D ＝ 6$ 。求 $A B$ 与 $C D$ 之间的距离。

分别求两条弦的弦心距：
$d_{1} ＝ \sqrt{5^{2} - 4^{2}} ＝ 3$
$d_{2} ＝ \sqrt{5^{2} - 3^{2}} ＝ 4$
两弦平行，它们的弦心距在同一条直线上。题目没给图，弦的位置有两种。
两弦在圆心同侧：
$4 - 3 ＝ 1$
两弦在圆心两侧：
$4 + 3 ＝ 7$
所以距离是 1 或 7。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题4：圆周角定理：一条弦，两种圆周角

在 $⊙ O$ 中， $∠ A O B ＝ 100 °$ ，点 $C$ 、 $D$ 分别在优弧和劣弧上。求 $∠ A C B$ 和 $∠ A D B$ 。

弦 AB 所对的圆周角有两种

C 在优弧上：∠ACB＝50°。D 在劣弧上：∠ADB＝180°－50°＝130°。ACBD 是圆内接四边形，对角互补。

∠ACB 所对的弧是劣弧 AB，它对的圆心角是 ∠AOB＝100°：
$∠ A C B ＝ \frac{1}{2} \times 100 ° ＝ 50 °$
四边形 ACBD 的四个顶点都在圆上，是圆内接四边形，对角互补：
$∠ A D B ＝ 180 ° - 50 ° ＝ 130 °$
也可以这样想：∠ADB 所对的是优弧 ACB，它对的圆心角是 360°－100°＝260°，一半是 130°。
所以“弦 AB 所对的圆周角”是 50° 或 130°。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题5：直径所对圆周角，加上等弧对等弦

$A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在圆上， $A C ＝ 6$ ， $B C ＝ 8$ 。 $∠ A C B$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ 。求 $A B$ 和 $A D$ 。

直径所对的圆周角是直角

∠ACB＝∠ADB＝90°。CD 平分 ∠ACB，所以弧 AD＝弧 BD，AD＝BD。

AB 是直径，所对的圆周角 ∠ACB＝90°：
$A B ＝ \sqrt{6^{2} + 8^{2}} ＝ 10$
CD 平分 ∠ACB：∠ACD＝∠BCD＝45°。相等的圆周角所对的弧相等，弧 AD＝弧 BD，所以弦
$A D ＝ B D$
∠ADB 也是直径所对的圆周角，等于 90°。△ADB 是等腰直角三角形：
$A D ＝ \frac{A B}{\sqrt{2}} ＝ \frac{10}{\sqrt{2}} ＝ 5 \sqrt{2}$

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题6：圆内接四边形：对角互补，外角等于内对角

四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ A ＝ 70 °$ ，延长 $B C$ 到点 $E$ 。求 $∠ B C D$ 和 $∠ D C E$ 。

A 与 C 是对角，圆内接四边形对角互补：
$∠ B C D ＝ 180 ° - 70 ° ＝ 110 °$
B、C、E 在一条直线上，∠DCE 与 ∠BCD 互为邻补角：
$∠ D C E ＝ 180 ° - 110 ° ＝ 70 °$
∠DCE＝∠A。这就是“圆内接四边形的外角等于它的内对角”。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题7：扇形与圆锥

① 半径为 6、圆心角为 120° 的扇形，弧长和面积各是多少？② 一个圆锥底面半径为 3、母线长为 5，求它的侧面积和侧面展开图的圆心角。

① 代入公式：
$l ＝ \frac{120 π \times 6}{180} ＝ 4 π$
$S ＝ \frac{120 π \times 6^{2}}{360} ＝ 12 π$
验算：S＝½lr＝½×4π×6＝12π。
② 侧面展开是扇形，扇形半径＝母线 5，扇形弧长＝底面周长：
$2 π \times 3 ＝ 6 π$
侧面积：
$S ＝ \frac{1}{2} \times 6 π \times 5 ＝ 15 π$
与公式 πrl＝π×3×5＝15π 一致。
圆心角 n：
$\frac{n π \times 5}{180} ＝ 6 π$
$n ＝ 216$
展开图是圆心角 216° 的扇形。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

知识点速看

第二十九章圆

垂直于弦的直径平分弦：r ＝ 5，弦 8，弦心距 3。
同弧所对圆周角是圆心角的一半；直径所对圆周角是 90°。
圆内接四边形对角互补。
弧长 $l$ $＝ n π \frac{r}{180}$ ，扇形面积 $S$ $＝ n π \frac{r^{2}}{360}$ $＝ l \frac{r}{2}$ ：r ＝ 6，n ＝ 60，l ＝ 2π，S ＝ 6π。
正多边形中心角＝ 360°/n。

巧算妙招

这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。

妙招 1

弦的问题，连半径、作弦心距，造直角三角形

先想一想

⊙O 的半径为 5，弦 AB ＝ 8，圆心到 AB 的距离是多少？

怎么做

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。所以从圆心作弦的垂线，垂足是弦的中点。半径、弦心距、半弦正好组成一个直角三角形，用勾股定理求。

例题

半径 5，弦 AB ＝ 8，求圆心 O 到 AB 的距离。

作 OC ⊥ AB 于 C，则 AC ＝ 8 ÷ 2 ＝ 4。
连接 OA，OA ＝ 5。
$O C^{2}$ $＝ 5^{2} － 4^{2}$ $＝ 25 － 16$ $＝ 9$ ，OC ＝ 3。

什么时候能用

弦长、半径、弦心距、拱高知二求一。

容易用错的地方

用整条弦 8 去算，要用一半 4。
两条平行弦的距离，要分两条弦在圆心同侧和异侧两种情况。

妙招 2

圆周角是圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角

先想一想

∠AOB ＝ 100°，点 C 在圆上，∠ACB 是多少？

怎么做

同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。但点 C 在优弧上还是劣弧上，对的弧不同。C 在优弧上，∠ACB 对劣弧，是 100° ÷ 2；C 在劣弧上，∠ACB 对优弧，优弧的圆心角是 360° － 100°。看到直径，就想到它所对的圆周角是 90°。

例题

∠AOB ＝ 100°，C 在圆上（不与 A、B 重合），求 ∠ACB。

C 在优弧上：∠ACB ＝ 100° ÷ 2 ＝ 50°。
C 在劣弧上：∠ACB ＝（360° － 100°）÷ 2 ＝ 130°。
所以 ∠ACB ＝ 50° 或 130°（两者互补，也是圆内接四边形对角互补）。

什么时候能用

圆中求角；看到直径作直角。

容易用错的地方

没给图时只算一种情况。
不同弧所对的圆周角不一定相等。

妙招 3

弧长、扇形面积，都是「整圆的几分之几」

先想一想

半径 6、圆心角 60° 的扇形，弧长和面积是多少？

怎么做

圆心角 n° 是整个圆 360° 的 $\frac{n}{360}$ ，弧长就是周长的 $\frac{n}{360}$ ： $l$ $＝ n π \frac{r}{180}$ ；扇形面积就是圆面积的 $\frac{n}{360}$ ： $S$ $＝ n π \frac{r^{2}}{360}$ 。知道弧长时，扇形面积还可以用 $S$ $＝ l \frac{r}{2}$ ，像三角形面积。

例题

半径 6，圆心角 60°，求弧长和扇形面积。

60° 是整圆的 $\frac{1}{6}$ 。
弧长： $2 π \times 6 \times \frac{1}{6}$ $＝ 2 π$ 。
面积： $π \times 36 \times \frac{1}{6}$ $＝ 6 π$ 。
检查： $S$ $＝ l \frac{r}{2}$ $＝ 2 π \times 6 \div 2$ $＝ 6 π$ ，一样。

什么时候能用

弧长、扇形面积；圆锥侧面展开图（扇形的弧长＝圆锥底面周长）。

容易用错的地方

弧长公式和面积公式里的 180 和 360 记混。
结果要求保留 π 时，不要把 π 换成 3.14。

中考真题

下面是和本章「圆周角、直径所对的圆周角是直角」对得上的中考原题。

2023 江苏南通中考第15题

直径所对的圆周角是直角

知识点：直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等

如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C、D 在 ⊙O 上。若 ∠DAB＝66°，则 ∠ACD＝______ 度。

示意图（自绘，不是原卷扫描）

查看答案与讲解

答案：24

AB 是直径，点 D 在圆上，所以 ∠ADB 是直径 AB 所对的圆周角，它一定是直角：∠ADB＝90°。
在直角三角形 ADB 里，两个锐角互余。已经知道 ∠DAB＝66°，所以 ∠ABD＝90°－66°＝24°。
再看 ∠ACD 和 ∠ABD。这两个角都对着同一条弧 AD（∠ACD 的两边夹着弧 AD，∠ABD 的两边也夹着弧 AD）。同弧所对的圆周角相等，所以 ∠ACD＝∠ABD＝24°。
因此填 24。

为什么不先求 ∠ACB？∠ACB 同样是直径所对的圆周角，也是 90°，但它不等于我们要求的 ∠ACD。∠ACD 只是 ∠ACB 的一部分，不能直接写成 90°。

轮到你，把方法用出来

15 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。

填空只填一个数（度数不写“°”，含 π 的可填如 4π，也可只填 π 前面的数），不写单位。也可点输入框下的符号按钮。

第1题

下列说法正确的是？

查看解法

A 反了，直径才是弦的一种；C 等弧必须在同圆或等圆中能重合；D 两端都在圆上才是直径。B 正确。

第2题

$⊙ O$ 的半径为 5， $O P ＝ 4$ ，点 P 与 $⊙ O$ 的位置关系是？

查看解法

$O P ＝ 4 < 5$ ，点 P 在圆内。

一座圆弧形拱桥，跨度（弦长）为 16 米，拱高为 4 米。这段圆弧的半径是多少米？

你的答案

查看解法

$r^{2} ＝ 8^{2} + {(r - 4)}^{2}$

$0 ＝ 64 - 8 r + 16$

$r ＝ 10$

圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，它的侧面展开图（扇形）的圆心角是多少度？

你的答案

查看解法

$\frac{n π \times 5}{180} ＝ 2 π \times 3$

$n ＝ 216$

作答只在本页内存中处理，不保存、不上传。刷新页面后重新开始。

教材节名与学习说明

正式节名为：29.1 圆的有关概念（29.1.1 圆的有关概念，含点与圆的位置关系；29.1.2 过三点的圆，含三角形外接圆与外心）；29.2 圆的有关性质（29.2.1 垂直于弦的直径、29.2.2 圆心角、29.2.3 圆周角）；29.3 弧长和扇形面积。本页共六个学习课时，课时副标题为学习提示。

节名按已核对的 2024 人教版九年级上册公开目录整理。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。

圆里的题，先连半径。暂时卡住时，先问自己：有没有弦可以作弦心距？有没有直径可以找直角？

圆里最常用的两个直角三角形

六课时，把规则学扎实

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

先自己想，再看下一步

例题1：直角三角形的外接圆：先找斜边中点

例题2：垂径定理：求弦心距和拱高

例题3：平行弦：两种位置都要算

例题4：圆周角定理：一条弦，两种圆周角

例题5：直径所对圆周角，加上等弧对等弦

例题6：圆内接四边形：对角互补，外角等于内对角

例题7：扇形与圆锥

知识点速看

巧算妙招

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

中考真题

轮到你，把方法用出来

第1题

第2题

第3题

第4题

第5题

第6题

第7题

第8题

第9题

第10题

第11题

第12题

第13题

第14题

第15题

本章练习完成