旋转

绕哪转、往哪转、转多少。
转完之后，大小形状都不变。

说清一次旋转，要讲三件事

O A ＝ O A'

对应点到旋转中心的距离相等

P (a, b) \to P' (- a, - b)

转 180°：关于原点对称

旋转中心、旋转方向、旋转角，少一个都说不清。

配套动画：旋转：绕哪转、往哪转、转多少，约 1 分钟。点击播放。

按 2024 人教版九年级上册第二十八章目录编排。28.1 分为旋转性质、作图与应用两个学习课时；28.2 的三个小节各设一个课时。

五课时，把规则学扎实

先读“学什么”，再用易错反例检查自己。

第1课时

28.1 图形的旋转

旋转的三要素和性质

学什么

把一个平面图形绕着平面内某一点 $O$ 转动一个角度，叫图形的旋转。点 $O$ 叫旋转中心，转动的角叫旋转角。

说清一次旋转，要讲三件事（三要素）：绕哪个点转（旋转中心）、往哪边转（顺时针还是逆时针）、转多少度（旋转角）。

旋转的三条性质：

对应点到旋转中心的距离相等。
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转前、后的图形全等。

考点

找旋转角：找一组对应点，分别和旋转中心连线，夹角就是旋转角。
由性质得等腰三角形： $O A ＝ O A'$ ， $△ O A A'$ 是等腰三角形；旋转角是 60° 时它是等边三角形，是 90° 时它是等腰直角三角形。
旋转前后对应边相等、对应角相等，可以直接拿来用。

易错点

旋转角找错。旋转角是“对应点—旋转中心—对应点”的角，比如 $∠ A O A'$ ，不是图形里随便一个角。

只说“旋转 90°”，没说方向。顺时针和逆时针转出来的位置不一样。

第2课时

28.1 图形的旋转

旋转作图、坐标与构造全等

学什么

作旋转图形：在图形上找几个关键点，一个一个转。转一个点 $A$ ：连 $O A$ ，以 $O A$ 为一边按方向画出旋转角，再用圆规在新射线上截取 $O A' ＝ O A$ 。像圆规一样，“一脚在中心，画弧找对应点”。

坐标系里绕原点旋转：

点 (a，b) 绕原点旋转
旋转方式	对应点
逆时针 90°	(−b，a)
顺时针 90°	(b，−a)
180°	(−a，−b)

记不住就画图，用两个全等的直角三角形推出来，见例题2的图。

考点

点 A(3，1) 绕原点逆时针旋转 90°，得 (−1，3)。
正方形、等边三角形里常用旋转把分散的线段“搬”到一起，得到全等三角形。
正方形 ABCD 中把 △ABE 绕 A 旋转使 AB 与 AD 重合，旋转角是 90°。

易错点

坐标旋转时只交换坐标、忘了变号，或者变错了号。转完画一下，看点在哪个象限，最容易发现错误。

第3课时

28.2.1 中心对称及其性质

两个图形成中心对称

学什么

把一个图形绕着某一点旋转 180°，如果它能与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点对称，也叫中心对称。这个点叫对称中心。

性质：

成中心对称的两个图形全等。
对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。

找对称中心：取一对不同的对称点，所连线段的中点就是对称中心；也可以连接两组对称点，在两条连线是不同直线时取交点。

考点

中心对称中， $A O ＝ 3$ ，则对称点连线 $A A' ＝ 6$ 。

易错点

以为全等的两个图形一定成中心对称。还要位置对：转 180° 能重合才行。

第4课时

28.2.2 中心对称图形

中心对称图形

学什么

一个图形绕着某一点旋转 180° 后能与自身重合，这个图形叫中心对称图形，这个点叫它的对称中心。

区分两个说法：“中心对称”说的是两个图形之间的关系；“中心对称图形”说的是一个图形自己的性质。

常见图形
图形	轴对称图形	中心对称图形
线段	是	是
等边三角形	是	不是
平行四边形	一般不是	是
矩形、菱形、正方形	是	是
正五边形	是	不是
正六边形	是	是
圆	是	是

正 $n$ 边形绕中心至少旋转 $\frac{360 °}{n}$ 就能与自身重合。边数是偶数的正多边形才是中心对称图形。

考点

平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；它一般不是轴对称图形。
既是轴对称又是中心对称的：线段、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆。
正六边形绕中心至少旋转 60° 与自身重合。

易错点

把等边三角形当成中心对称图形。它转 120° 能和自己重合，但转 180° 不能。

把平行四边形当成轴对称图形。一般的平行四边形沿任何直线对折都不能重合。

第5课时

28.2.3 关于原点对称的点的坐标

横、纵坐标都取相反数

学什么

坐标系里，关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数： $P (a, b)$ 与 $P' (- a, - b)$ 。

对应点的连线经过原点，并被原点平分。先分别列出横、纵坐标互为相反数的等式，再求参数。

考点

点 (3，−2) 关于原点的对称点是 (−3，2)。
$P (a + 1, 3)$ 与 $Q (- 2, b - 1)$ 关于原点对称： $a + 1 ＝ 2$ ， $3 ＝ - (b - 1)$ ，得 $a ＝ 1$ ， $b ＝ - 2$ 。

易错点

关于原点对称只改一个坐标的符号。关于 $x$ 轴对称才只改纵坐标，关于原点对称两个都要改。

先自己想，再看下一步

六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：旋转性质：等腰直角三角形

在 $R t △ A C B$ 中， $∠ A C B ＝ 90 °$ ， $A C ＝ 3$ ， $B C ＝ 4$ 。把 $△ A C B$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 90° 得到 $△ D C E$ （点 A 的对应点是 D，点 B 的对应点是 E）。求 $C D$ 、 $D E$ ，以及 $A D$ 的长和 $∠ C A D$ 的度数。

Rt△ACB 绕点 C 逆时针旋转 90° 得到 △DCE

旋转前后图形全等，对应边相等：
$C D ＝ C A ＝ 3$
$D E ＝ A B$
AB 用勾股定理：AB＝√(3²＋4²)＝5，所以 DE＝5。
A 和 D 是对应点，旋转角是 ∠ACD＝90°，并且 CA＝CD＝3，△ACD 是等腰直角三角形。
$A D ＝ \sqrt{3^{2} + 3^{2}} ＝ 3 \sqrt{2}$
等腰直角三角形的底角是 45°：
$∠ C A D ＝ 45 °$

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：坐标系里绕原点旋转

点 $A (3, 1)$ 。① 绕原点逆时针旋转 90° 得 $A'$ ，求 $A'$ 的坐标；② 绕原点旋转 180° 得 $A ″$ ，求 $A ″$ 的坐标。

① 从 A 向 x 轴作垂线，得到一个直角三角形：横向 3，竖向 1。整个三角形绕原点逆时针转 90°，“横向 3”变成竖向向上 3，“竖向 1”变成横向向左 1。
所以 A′ 在原点左边 1、上边 3：
$A' (- 1, 3)$
对照规律 (a，b)→(−b，a)，a＝3，b＝1，得 (−1，3)。
② 旋转 180° 就是关于原点对称，两个坐标都变号：
$A ″ (- 3, - 1)$
检验：三个点到原点的距离都是 √(3²＋1²)＝√10，符合“到旋转中心距离相等”。
点 A(3,1) 绕原点旋转
- OA
- 旋转后的 OA′、OA″
点图上的虚线圆圈，查看每个关键点的含义。
三个点到原点的距离都等于 √10：旋转不改变到旋转中心的距离。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题3：正方形中的旋转

正方形 $A B C D$ 的边长为 4，点 $E$ 在 $B C$ 上， $B E ＝ 3$ 。把 $△ A B E$ 绕点 $A$ 旋转，使 $A B$ 与 $A D$ 重合，得到 $△ A D F$ 。① 旋转角是多少度？② 判断 $△ A E F$ 的形状；③ 求 $E F$ 。

正方形 ABCD 中，△ABE 绕点 A 旋转到 △ADF

AB 转到 AD，旋转角是 ∠BAD＝90°；E 转到 F，AE＝AF，∠EAF＝90°。

① B 的对应点是 D，旋转角是 ∠BAD。正方形每个角都是 90°，所以旋转角是 90°。
② E 的对应点是 F：AE＝AF（到旋转中心距离相等），∠EAF＝90°（等于旋转角）。△AEF 是等腰直角三角形。
③ 在 Rt△ABE 中：
$A E ＝ \sqrt{4^{2} + 3^{2}} ＝ 5$
等腰直角三角形的斜边是直角边的 √2 倍：
$E F ＝ 5 \sqrt{2}$
补充：∠ADF＝∠B＝90°，∠ADC＝90°，所以 F、D、C 在同一条直线上，F 在 CD 的延长线上。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题4：中心对称：平行四边形里的等线段

平行四边形 $A B C D$ 的对角线交于点 $O$ ，过 $O$ 的直线分别交 $A D$ 、 $B C$ 于点 $E$ 、 $F$ 。说明 $O E ＝ O F$ 。

平行四边形 ABCD 关于对角线交点 O 中心对称

绕 O 转 180°：A 到 C，D 到 B，所以直线 AD 转到直线 CB，E 落在 F 上。

平行四边形的对角线互相平分：OA＝OC，OB＝OD。所以平行四边形关于点 O 中心对称。
绕 O 旋转 180°：A 转到 C，D 转到 B，所以线段 AD 转到线段 CB。
E 在 AD 上，又在过 O 的直线上，转 180° 后仍在这条直线上、又在 CB 上，所以 E 落在 F 上。对称点的连线被对称中心平分：
$O E ＝ O F$
也可以用全等证：∠OAE＝∠OCF（内错角），OA＝OC，∠AOE＝∠COF，△AOE≌△COF（ASA），得 OE＝OF。中心对称只是把这个全等“看出来”了。

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例题5：哪些是中心对称图形

在线段、等边三角形、平行四边形、正方形、正五边形、圆中，哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形又是中心对称图形？

逐个想“绕中心转 180° 能不能和自己重合”：
- 线段：绕中点转 180°，两端互换，能。
- 等边三角形：转 180° 后顶点朝下，不能。
- 平行四边形：绕对角线交点转 180°，能。
- 正方形：能。
- 正五边形：边数是奇数，转 180° 后顶点对着边，不能。
- 圆：绕圆心转任何角度都能。
中心对称图形：线段、平行四边形、正方形、圆。
再看是否轴对称：平行四边形一般不是轴对称图形，其余三个都是。
既是轴对称又是中心对称：线段、正方形、圆。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题6：关于原点对称求参数

点 $P (a + 1, 3)$ 与点 $Q (- 2, b - 1)$ 关于原点对称，求 $a + b$ 的值。

关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
横坐标：
$a + 1 ＝ 2$
$a ＝ 1$
纵坐标：
$3 + (b - 1) ＝ 0$
$b ＝ - 2$
$a + b ＝ 1 + (- 2) ＝ - 1$
检验：P(2，3)，Q(−2，−3)，确实关于原点对称。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

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第二十八章旋转

旋转三要素：旋转中心、方向、角度。
对应点到中心距离相等；对应点与中心连线的夹角等于旋转角。
旋转 60° 常得等边三角形，旋转 90° 常得等腰直角三角形。
关于原点对称：（x，y）→（－x，－y），（3，－2）→（－3，2）。
绕原点逆时针转 90°：（x，y）→（－y，x），（3，1）→（－1，3）。

巧算妙招

这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。

妙招 1

旋转 60°，常常藏着等边三角形

先想一想

△ABC 绕点 A 旋转 60° 得到 △AB′C′，AB ＝ 4，BB′ 是多少？

怎么做

旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与中心的连线所成的角等于旋转角。所以 AB ＝ AB′，∠BAB′ ＝ 60°，△ABB′ 是等腰三角形，又有一个角是 60°，就是等边三角形。旋转 90° 时，会得到等腰直角三角形。

例题

△ABC 绕 A 旋转 60° 得 △AB′C′，AB ＝ 4，求 BB′。

AB ＝ AB′ ＝ 4，∠BAB′ ＝ 60°。
△ABB′ 是等边三角形，BB′ ＝ 4。

什么时候能用

旋转中求线段、角度；把分散的线段「转」到一起。

容易用错的地方

旋转角找错，用了 ∠BAC。旋转角是对应点与中心连线的夹角。
以为旋转改变了图形大小。

妙招 2

关于原点对称，横纵坐标都变号

先想一想

点（3，－2）关于原点对称的点是？关于 x 轴对称呢？

怎么做

关于原点对称（绕原点旋转 180°），横、纵坐标都变成相反数：（x，y）→（－x，－y）。关于 x 轴对称，只有纵坐标变号；关于 y 轴对称，只有横坐标变号。

例题

点（3，－2）关于原点、x 轴、y 轴的对称点。

关于原点：（－3，2）。
关于 x 轴：（3，2）。
关于 y 轴：（－3，－2）。

什么时候能用

中心对称的坐标；判断图形是不是中心对称图形（绕中心转 180° 与自身重合）。

容易用错的地方

三种对称混在一起。
平行四边形是中心对称图形，但一般不是轴对称图形。

妙招 3

绕原点逆时针转 90°，（x，y）变成（－y，x）

先想一想

点（3，1）绕原点逆时针旋转 90°，到哪里？

怎么做

从点向 x 轴作垂线，得到一个直角三角形，两条直角边是 3 和 1。旋转 90° 后，这个三角形也转了 90°：横着的边变成竖着的，竖着的边变成横着的。所以逆时针转 90°：（x，y）→（－y，x）；顺时针转 90°：（x，y）→（y，－x）。

例题

点（3，1）绕原点逆时针旋转 90°。

按规律：（－1，3）。
检查：原点到两点的距离都是 $\sqrt{10}$ ；两条连线互相垂直（3 ×（－1）＋ 1 × 3 ＝ 0，可以画图看出来）。

什么时候能用

坐标系中的旋转作图。

容易用错的地方

逆时针和顺时针的公式弄反。记不住时，画个图看点转到了哪个象限。
只交换了坐标，没变号。

轮到你，把方法用出来

12 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。

填空只填一个数（度数不写“°”，负数带负号），根号可写 sqrt(2)，如 2sqrt(2)。也可点输入框下的符号按钮。

第1题

下列不属于确定一次旋转的要素的是？

查看解法

旋转只改变图形的位置，不改变大小和形状。确定一次旋转需要旋转中心、旋转方向和旋转角。

第2题

$△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 50° 得到 $△ A B' C'$ ， $∠ B A B'$ 等于多少度？

你的答案

查看解法

$∠ B A B'$ 是对应点与旋转中心连线的夹角，等于旋转角 50°。

第3题

$△ A B C$ 绕点 $C$ 旋转 60° 得到 $△ A' B' C$ ， $A C ＝ 4$ ，连接 $A A'$ ， $A A'$ 的长是多少？

你的答案

查看解法

$C A ＝ C A' ＝ 4$ ， $∠ A C A' ＝ 60 °$ ， $△ A C A'$ 是等边三角形， $A A' ＝ 4$ 。

第4题

$△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 90° 得到 $△ A' B' C$ ， $A C ＝ 2$ ，连接 $A A'$ ， $A A'$ 的长是多少？

你的答案

查看解法

$A A' ＝ \sqrt{2^{2} + 2^{2}} ＝ 2 \sqrt{2}$

第5题

点 $(3, - 2)$ 关于原点对称的点是？

查看解法

$(3, - 2)$ → $(- 3, 2)$ 。A 是关于 x 轴对称，B 是关于 y 轴对称。

第6题

点 $P (a, 2)$ 与点 $Q (- 3, b)$ 关于原点对称， $a + b$ 等于多少？

你的答案

查看解法

$a ＝ 3$ ， $b ＝ - 2$ ， $a + b ＝ 1$ 。

第7题

等边三角形、平行四边形、正方形中，是中心对称图形的有？

查看解法

等边三角形转 180° 不能与自身重合，不是中心对称图形；平行四边形和正方形都是。

第8题

下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是？

查看解法

等边三角形、正五边形只是轴对称图形；平行四边形一般只是中心对称图形；矩形两个都是。

第9题

正方形 $A B C D$ 中， $△ A B E$ 绕点 $A$ 旋转后与 $△ A D F$ 重合，旋转角是多少度？

你的答案

查看解法

旋转角 $∠ B A D ＝ 90 °$ 。

第10题

正六边形绕它的中心至少旋转多少度，能与自身重合？

你的答案

查看解法

$360 ° \div 6 ＝ 60 °$

第11题

点 $A (2, 1)$ 绕原点逆时针旋转 90° 得到点 $A'$ ， $A'$ 的横坐标是多少？

你的答案

查看解法

$A' (- 1, 2)$ ，横坐标 −1。点从第一象限转到了第二象限。

第12题

关于中心对称，下列说法错误的是？

查看解法

全等的两个图形，位置不一定满足“绕某点转 180° 重合”，所以 D 错误。

作答只在本页内存中处理，不保存、不上传。刷新页面后重新开始。

教材节名与学习说明

正式节名为：28.1 图形的旋转；28.2 中心对称（28.2.1 中心对称及其性质、28.2.2 中心对称图形、28.2.3 关于原点对称的点的坐标）。本页共五个学习课时，课时副标题为学习提示；绕原点旋转 90° 作为旋转的应用。

节名按已核对的 2024 人教版九年级上册公开目录整理。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。

转完一个点，量一量它到旋转中心的距离。暂时卡住时，先问自己：旋转中心是哪个点？旋转角是哪个角？

说清一次旋转，要讲三件事

五课时，把规则学扎实

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

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考点

易错点

学什么

考点

易错点

先自己想，再看下一步

例题1：旋转性质：等腰直角三角形

例题2：坐标系里绕原点旋转

例题3：正方形中的旋转

例题4：中心对称：平行四边形里的等线段

例题5：哪些是中心对称图形

例题6：关于原点对称求参数

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巧算妙招

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

轮到你，把方法用出来

第1题

第2题

第3题

第4题

第5题

第6题

第7题

第8题

第9题

第10题

第11题

第12题

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