数据的分析

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平均数描述一组数据的平均水平：总和除以数据个数。加权平均数让每个数按对应权重参与计算。权重可以是次数、比例或评分的重要程度。

$\overline{x}＝\frac{x_1{w}_1+\dots +x_n{w}_n}{w_1+\dots +w_n}$

本页权重非负，权重总和大于0。若权重是总和100%的百分比，可直接相乘再相加。

考点

• 笔试90、面试80，权重6∶4，综合成绩是(90×6＋80×4)÷10＝86。
• 统计表中的频数也是权重。例如80分2人、90分3人，平均数是(80×2＋90×3)÷5＝86。

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中位数：先按从小到大（或从大到小）排序。奇数个取中间的数，偶数个取中间两个数的平均数。众数是出现次数最多的数，可以不止一个。

考点

• 3、5、5、6、8、9共6个，排序后中间两个是5和6，所以中位数5.5，众数5。
• 2、2、3、3、5中，2和3各出现2次，众数有两个。
• 数据都只出现一次时，本页按中学学习中的常见约定“不设众数”，不把所有不同数据同时列作众数。

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方差是各数据与平均数之差的平方的平均数，必定非负（s²≥0），用 $s^2$ 表示。

$s^2＝\frac{1}{n}[{(x_1-\overline{x})}^2+\dots$

$+{(x_n-\overline{x})}^2]$

同单位、同类数据比较时，方差越小，数据越集中，波动越小；方差为0时所有数都相等。

考点

• 每个数据都加a，平均数加a，方差不变。
• 每个数据都乘a，平均数乘a，方差乘a²。
• 本章用分母n的方差；不混用统计推断中分母n−1的样本方差。

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先找整组中位数 $Q_2$；再找它左侧、右侧两半数据各自的中位数，分别为 $Q_1$、$Q_3$。

偶数个：从中间分成个数相同的两半。奇数个：去掉正中间那个数据，再对两侧分别求中位数。按排序位置分半，重复值仍保留，不能按数值严格小于或大于中位数来删数据。

四分位距是 $Q_3-Q_1$，表示中间部分数据的跨度。箱线图用最小值、Q₁、Q₂、Q₃、最大值五个数展示分布。

考点

• 2、4、5、7、8、10、12、15的下半为2、4、5、7，上半为8、10、12、15。Q₁＝4.5，Q₂＝7.5，Q₃＝11。
• 1、2、3、4、5、6、7中，Q₂＝4；两侧为1、2、3与5、6、7，所以Q₁＝2，Q₃＝6。

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分组时先看最大值与最小值的差，再选择合适的组距、组数，确保每个数据恰好进入一组。频数是本组数据个数，所有频数之和等于总个数。

本页明确采用左闭右开：例如50≤x<60、60≤x<70。端点60只进第二组；分组的最右端必须大于最大数据，确保最大值也被覆盖。

组中值＝(本组下限＋上限)÷2。用组中值代替该组实际数据，可加权估计整组平均数。

考点

• 组距10；50≤x<60的组中值55，频数5。
• 三组频数为5、7、8，总人数20，估计平均分(55×5＋65×7＋75×8)÷20＝66.5。