音乐与数学

学什么

同一根弦（粗细、松紧不变），振动部分越短，振动越快，频率越高，声音越高。

• 弦长变为原来的 1/2：频率变为 2 倍，音高升高一个八度。
• 弦长变为原来的 2/3：频率变为 3/2 倍，升高一个纯五度。

弦长比是 2∶1、3∶2 这样的简单整数比时，两个音一起响听起来很和谐。

考点

• 由弦长比求频率比：互为倒数。
• 高八度对应弦长减半。

学什么

三分损益法最早见于《管子·地员》。本页的数值取自《史记·律书》：以 81 为“宫”的弦长，

• 三分损一：去掉三分之一，即乘 2/3；
• 三分益一：增加三分之一，即乘 4/3。

损、益交替，依次得到：宫 81，徵 54，商 72，羽 48，角 64。从低到高排列是：宫 81、商 72、角 64、徵 54、羽 48（弦越短越高）。

考点

• 会连续乘 2/3、4/3 计算。
• 按弦长从长到短排出音的高低。

学什么

国际标准音 A（小字一组 a）的频率是 440 赫兹。高一个八度是 880 赫兹，低一个八度是 220 赫兹。

钢琴把一个八度分成 12 个半音（7 个白键、5 个黑键）。明代朱载堉提出“十二平均律”：相邻半音的频率比都相等，连乘 12 次正好是 2（每个比约为 1.0595）。

考点

• 高 n 个八度：频率乘 2 的 n 次方；低 n 个八度：除以 2 的 n 次方。
• 一个八度有 12 个半音。

学什么

乐曲速度常写成“每分钟多少拍”。速度为每分钟 120 拍时，每拍 0.5 秒，演奏 n 拍用时：

t＝0.5n

t 是 n 的正比例函数。速度变成每分钟 v 拍，每拍 60/v 秒，t＝(60/v)·n。

动手做：几个相同的玻璃杯装不同高度的水，用木槌轻敲，记录水位和音高，排出一个音阶。

考点

• 由速度求每拍时长。
• 写出 t 关于 n 的函数解析式并求值。