一次函数

先看系数，再画直线。
把变化说清，把条件写全。

一辆没有文字标牌的红色出租车驶过安静街道，学生在路边观察 — 在同一计费区间，固定费用和随路程增加的费用可以分开看。

先看k，再看b

y ＝ k x + b

k≠0，才是一次函数

b ＝ 0

正比例函数是特殊的一次函数

从直线的位置，读出变化和比较的结果。

配套动画：一次函数：知识点、分步例题与练习，约 1 分钟。点击播放。

按2022年版课标修订的人教版八下第二十三章。23.2分为图象性质、待定系数两个学习课时，其余三节各一课时。

五课时，把方法学扎实

先读“学什么”，再用易错反例检查自己。

第1课时

23.1 一次函数的概念

一次函数与正比例函数

学什么

形如 $y ＝ k x + b$ 的函数叫做一次函数，其中k、b是常数，且 $k \neq 0$ 。自变量的次数是1。

当 $b ＝ 0$ 时，得到正比例函数 $y ＝ k x$ （ $k \neq 0$ ）。所以正比例函数是一次函数的特殊情况。

水果摊上同一种橙子放在没有数字显示的机械托盘秤上，旁边是同品种水果篮 — 单价固定且没有附加费时，总价与质量成正比例。

考点

先确认能写成 $y ＝ k x + b$ ，再检查 $k \neq 0$ 。
参数题同时管“常数项为0”和“一次项系数不为0”。

易错点

$y ＝ 0 x + 3$ 就是 $y ＝ 3$ ，它是常值函数，不是一次函数。

“正比例”中的“正”不表示k必须大于0。 $y ＝ - 2 x$ 也是正比例函数。

第2课时

23.2 一次函数的图象和性质

图象、象限与平移

学什么

图象是一条直线。画图时选两个不同的点，算出坐标，再描点连线。

$k > 0$ 时，y随x增大而增大； $k < 0$ 时，y随x增大而减小。
与y轴交点是 $(0, b)$ ；与x轴交点是 $(\frac{- b}{k}, 0)$ 。

y＝−2x＋3：先看方向，再看截距

触摸图内查看数值；键盘聚焦图内后按左右键。

图中直线的部分坐标
x	y＝−2x＋3
0	3
1	1
2	-1

k＝−2<0，直线从左向右下降；b＝3，经过y轴上的(0,3)。

实验桌上等截面的透明长方体水箱从底部阀门向水桶放水，水面保持水平 — 在匀速放水的模型中，水未放完时，剩余水量随时间均匀减少。

考点

k>0,b>0：经过一、二、三象限；k>0,b<0：经过一、三、四象限。
k<0,b>0：经过一、二、四象限；k<0,b<0：经过二、三、四象限。
b＝0时过原点：k>0经过一、三象限，k<0经过二、四象限。
平移口诀“左加右减，上加下减”：向右h（h>0）将x换成x−h；向上t将整个函数值加t。

易错点

k决定增减方向，b决定y轴截距；坐标轴上的点不属于任何象限。

向右平移 $y ＝ 2 x + 1$ 一个单位，得到 $y ＝ 2 (x - 1) + 1 ＝ 2 x - 1$ ，不能直接把常数项加1。

第3课时

23.2 一次函数的图象和性质

用待定系数法求解析式

学什么

先设 $y ＝ k x + b$ ，把两个点的x、y成对代入，列二元一次方程组，解出k、b，再代回检验。

两个点的横坐标不同，才能用它们确定形如y＝kx＋b的直线。如果解得k＝0，则得到常值函数，不能称一次函数。

考点

过(1,3)、(2,5)：先列k＋b＝3、2k＋b＝5，得k＝2、b＝1。
已知正比例关系时可先设y＝kx，一个非原点即可确定k。

易错点

不能把(1,3)代成3k＋b＝1。解完要写完整解析式，并用两个已知点检验。

参数题若用除法，要先检查除数是否可能为0；不能随意约去参数后漏掉分支。

第4课时

23.3 一次函数与方程（组）、不等式

交点、方程解与不等式解集

学什么

直线 $y ＝ k x + b$ 与x轴交点的横坐标，是方程 $k x + b ＝ 0$ 的解。两直线交点的坐标，是对应二元一次方程组的解。

比较两个函数值时，图象在上方的函数值大；要读出对应的x范围。

考点

求 $2 x - 4 > 0$ ：直线在x轴上方，对应 $x > 2$ 。
求 $2 x + 1 < - x + 4$ ：交点横坐标为1，取实线在虚线下方的部分，得 $x < 1$ 。

易错点

交点是一个坐标对，不能只写横坐标充当方程组的解。严格不等式<、>不含交点；≤、≥才含等号。

看图不能机械地“向右取”。当k<0时，直线在x轴上方通常对应交点左侧。

第5课时

23.4 实际问题与一次函数

建立模型、限定范围、选择方案

学什么

先写清x和y表示什么、单位是什么，再按“固定费用＋每单位费用×数量”建模。最后结合x的实际范围选择方案。

若收费规则分段，每段分别写式子和适用范围，分界点不能漏或重复；比较最值也要检查分界点。

考点

甲月租20元、每分钟0.1元： $y ＝ 20 + 0.1 x$ 。乙无月租、每分钟0.2元： $y ＝ 0.2 x$ 。
求方案相同时先解方程；再把区间分开比较。实际通话时长要求 $x \geq 0$ 。

易错点

无限延长直线不等于实际允许取任意x。人数、件数有时还必须是整数。

只算交点还没有完成“选方案”；还要判断交点两侧谁更便宜。

先自己想，再看下一步

6道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：两条条件一起用

已知 $y ＝ (m - 2) x + m^{2} - 4$ 是正比例函数，求m。

正比例函数的常数项为0：
$m^{2} - 4 ＝ 0$
$m ＝ 2 或 m ＝ - 2$
一次项系数不能为0：
$m - 2 \neq 0$
$m \neq 2$
排除m＝2，保留m＝−2。代回得到 $y ＝ - 4 x$ ，符合条件。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：画下降直线，再做平移

直线 $y ＝ - 2 x + 3$ 经过哪些象限？把它向右平移1个单位，求新解析式。

令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝1.5。描出(0,3)、(1.5,0)，连成直线。图见第2课时。
k<0，直线下降；b>0。x<0时y>0，00，x>1.5时y<0，所以经过二、一、四象限。
向右平移1个单位，将x替换为x−1：
$y ＝ - 2 (x - 1) + 3$
$＝ - 2 x + 5$
检查：原来的y轴截距点(0,3)移到(1,3)，新式代入x＝1确得y＝3。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题3：两个点，两个方程

一次函数图象过(1,3)、(2,5)，求解析式。

设 $y ＝ k x + b$ （k≠0），代入两个点：
$k + b ＝ 3$
$2 k + b ＝ 5$
第二式减第一式，得k＝2；代回第一式，b＝1。
$y ＝ 2 x + 1$
检验：x＝1时y＝3；x＝2时y＝5。两点都满足，且k≠0。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题4：用交点读出不等式

求直线 $y ＝ 2 x + 1$ 与 $y ＝ - x + 4$ 的交点，并解不等式 $2 x + 1 < - x + 4$ 。

两条直线的交点，给出方程组的解

y＝2x＋1（实线）
y＝−x＋4（虚线）

触摸图内查看数值；键盘聚焦图内后按左右键。

图中直线的部分坐标
x	y＝2x＋1（实线）	y＝−x＋4（虚线）
0	1	4
1	3	3
2	5	2

实线与虚线相交于P(1,3)。P左侧实线在下方，P右侧实线在上方。

交点处两函数值相等：
$2 x + 1 ＝ - x + 4$
$3 x ＝ 3$
$x ＝ 1$
把x＝1代回，y＝3，所以交点为P(1,3)，也是方程组的解。
交点左侧实线在虚线下方，代数上：
$3 x < 3$
$x < 1$
题目是严格小于，不包含x＝1；可用x＝0检验：1<4成立。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题5：先找分界，再选方案

甲方案月租20元，每分钟0.1元；乙方案无月租，每分钟0.2元。假设按实际分钟数计费，x≥0。何时费用相同？何时选甲更便宜？

一部手机旁并排摆着红色和蓝绿色两张无字套餐卡，供比较两种计费方案 — 比较套餐时，月租和每分钟费用都要算，再看实际通话时长。

两方案费用分别为：
$y_{甲} ＝ 20 + 0.1 x$
$y_{乙} ＝ 0.2 x$
相同时：
$20 + 0.1 x ＝ 0.2 x$
$x ＝ 200$
此时费用都是40元。
甲更便宜要求 $20 + 0.1 x < 0.2 x$ ，得x>200。0≤x<200时乙更便宜；x＝200时相同。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题6：中考常见综合题型

本题为自编练习。直线l₁： $y ＝ - x + 4$ 与两轴交于A、B；直线l₂： $y ＝ x - 2$ 与l₁交于P。求P，求△OAB与△OBP的面积，并写出l₂在l₁上方时的x范围。

综合题：截距、交点和面积

y＝−x＋4（实线）
y＝x−2（虚线）

触摸图内查看数值；键盘聚焦图内后按左右键。

图中直线的部分坐标
x	y＝−x＋4（实线）	y＝x−2（虚线）
0	4	-2
1	3	-1
2	2	0

A(0,4)、B(4,0)在实线上，P(3,1)是两线交点。O为坐标原点。

令x＝0、y＝0，分别得A(0,4)、B(4,0)。
$S_{O A B} ＝ \frac{1}{2} \times 4 \times 4$
$＝ 8$
联立两直线：
$- x + 4 ＝ x - 2$
$2 x ＝ 6$
$x ＝ 3$
代回得y＝1，所以P(3,1)。
以OB＝4为底，P到x轴的距离为1：
$S_{O B P} ＝ \frac{1}{2} \times 4 \times 1$
$＝ 2$
l₂在l₁上方要求：
$x - 2 > - x + 4$
$2 x > 6$
$x > 3$
不要将交点本身包含在严格不等式的解集中。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

知识点速看

第二十三章一次函数

y＝kx＋b（k≠0）叫一次函数；b＝0 时 y＝kx 叫正比例函数，图象过原点。
k＞0 时 y 随 x 增大而增大，k＜0 时 y 随 x 增大而减小。y＝－2x＋1 中，x＝1 时 y＝－1，x＝2 时 y＝－3。
b 是直线和 y 轴交点的纵坐标：y＝2x＋3 过点 (0,3)。
已知两点求解析式：过 (1,3) 和 (2,5)，k＝(5－3)÷(2－1)＝2，再由 3＝2×1＋b 得 b＝1，所以 y＝2x＋1。
平移：y＝2x 的图象向上平移 3 个单位，得到 y＝2x＋3。
和方程的关系：2x＋4＝0 的解 x＝－2，就是直线 y＝2x＋4 和 x 轴交点的横坐标。

巧算妙招

这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。

妙招 1

已知两个点求解析式，先用「y 变了多少 ÷ x 变了多少」求 k

先想一想

一次函数的图象过点 (1,3) 和 (3,7)，求它的解析式。一般做法是列两个方程组成方程组再解，步骤多，容易算错。有没有更快的办法？

怎么做

一次函数 y＝kx＋b 里，x 每增加 1，y 就增加 k。所以 k 就等于「两个点的 y 相差多少」除以「两个点的 x 相差多少」。求出 k 以后，把任意一个点代进去，就能求出 b。最后用另一个点检查一遍。

例题

一次函数的图象过点 (1,3) 和 (3,7)，求它的解析式。

求 k：y 变了 7－3＝4，x 变了 3－1＝2，k＝4÷2＝2。
求 b：把 (1,3) 代进 y＝2x＋b，3＝2×1＋b，所以 b＝1。
解析式是 y＝2x＋1。
用另一个点检查：x＝3 时，y＝2×3＋1＝7，对了。

什么时候能用

已知两个点求一次函数；也能看一张表格里 x 和 y 的变化，判断是不是一次函数：x 每次增加相同的数，y 也每次增加（或减少）相同的数。

容易用错的地方

两个差的顺序要一致。用 7－3 就要配 3－1，不能配 1－3，否则 k 的符号就反了。
求出 k 就停了，忘了求 b。
y 随 x 增大而减小时，k 是负数。比如过 (0,4) 和 (2,0)：k＝(0－4)÷(2－0)＝－2。

妙招 2

画一次函数的图象，只找两个点：x＝0 和 y＝0

先想一想

画 y＝2x－4 的图象，要不要列一大张表，描很多个点？其实不用。

怎么做

一次函数的图象是一条直线，两点就能确定一条直线。最好找的两个点是它和两条坐标轴的交点：让 x＝0，算出 y，得到和 y 轴的交点；让 y＝0，算出 x，得到和 x 轴的交点。把这两个点连起来，向两边延长，就画好了。

例题

画出 y＝2x－4 的图象，并说出它和两条坐标轴的交点。

让 x＝0：y＝2×0－4＝－4，得到点 (0,－4)，在 y 轴上。
让 y＝0：0＝2x－4，所以 x＝2，得到点 (2,0)，在 x 轴上。
描出这两个点，过两点画一条直线。
检查：再取 x＝3，y＝2×3－4＝2，点 (3,2) 应该正好在直线上。

什么时候能用

画一次函数的图象；求直线和坐标轴围成的三角形的面积。上面这条直线和两条坐标轴围成的三角形，两条直角边是 2 和 4，面积是 2×4÷2＝4。

容易用错的地方

正比例函数 y＝kx 的两个交点都是原点 (0,0)，只算出一个点，这时要另外取一个点，比如 x＝1。
把 x＝0 时的点写成 (－4,0)。x＝0 时的点在 y 轴上，横坐标是 0，应该是 (0,－4)。

妙招 3

看 k 和 b 的正负，就知道直线经过哪几个象限

先想一想

不画图，能说出 y＝－3x＋2 的图象经过哪几个象限吗？

怎么做

分两步想。第一步看 k：k＞0，直线从左往右是往上走的；k＜0，从左往右是往下走的。第二步看 b：b 是直线和 y 轴交点的纵坐标，b＞0 交在 y 轴正半轴（原点上方），b＜0 交在负半轴（原点下方）。把这两点合起来，想一想直线怎么穿过坐标系，就能说出它经过哪几个象限。四种情况是：

k＞0，b＞0：经过第一、二、三象限。
k＞0，b＜0：经过第一、三、四象限。
k＜0，b＞0：经过第一、二、四象限。
k＜0，b＜0：经过第二、三、四象限。

例题

y＝－3x＋2 的图象经过哪几个象限？

k＝－3＜0，直线从左往右往下走。
b＝2＞0，直线和 y 轴交在点 (0,2)，在原点上方。
从左上方往下走，先经过第二象限，穿过 y 轴正半轴进入第一象限，再穿过 x 轴进入第四象限。
所以经过第一、二、四象限，不经过第三象限。验证：x 取－1，y＝－3×（－1）＋2＝5，点 (－1,5) 在第二象限；x 取 2，y＝－3×2＋2＝－4，点 (2,－4) 在第四象限。

什么时候能用

判断图象经过（或不经过）哪几个象限；反过来，已知图象不经过某个象限，求 k、b 的符号或字母的范围。

容易用错的地方

把 b 当成和 x 轴的交点。b 是和 y 轴交点的纵坐标。
忘了 b＝0 的情况。b＝0 时直线过原点，k＞0 只经过第一、三象限，k＜0 只经过第二、四象限。

中考真题

下面是和本章「一次函数」对得上的中考原题。平移记「左加右减、上加下减」；代入点的坐标时，横、纵坐标要配对。

2023 江苏无锡中考第5题

一次函数图象的平移

知识点：一次函数图象向下平移时，斜率不变，截距减少平移的单位数

将函数 y＝2x＋1 的图象向下平移 2 个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（　）

y＝2x－1
y＝2x＋3
y＝4x－3
y＝4x＋5

查看答案与讲解

答案：A

一次函数 y＝2x＋1 的图象是一条直线，斜率是 2，它和 y 轴交于（0，1）。
「向下平移 2 个单位长度」的意思是：直线上每一个点的横坐标不变，纵坐标都减少 2。斜率不会变，直线也不会被拉陡或拉平，所以新直线仍然是「2x 加上一个新的数」。
原来的表达式是 y＝2x＋1，把右边整体减去 2，得到 y＝2x＋1－2＝2x－1。
对照选项：A 正好是 y＝2x－1。B 是向上平移 2 个单位（加 2）才会出现的 2x＋3；C、D 把斜率也改成了 4，那是把直线「转陡」了，平移做不到这一点。所以选 A。
验算一个点：原直线过（0，1），向下移 2 个单位后应过（0，－1）。把 x＝0 代入 y＝2x－1，得到 y＝－1，对得上。

2024 江苏南京中考第19题

一次函数图象上的对称点与平移

知识点：关于 x 轴对称时纵坐标变号；向左平移时横坐标减少；点在直线上就把坐标代入解析式

已知点 A（a，b）与点 B 关于 x 轴对称，将点 A 向左平移 3 个单位长度得到点 C。若 B、C 两点都在函数 y＝2x＋1 的图象上，求点 A 的坐标。

查看答案与讲解

答案：（1，－3）

点 A 的坐标是（a，b）。关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数，所以点 B 是（a，－b）。
把点 A 向左平移 3 个单位长度，纵坐标不变，横坐标减少 3，所以点 C 是（a－3，b）。
B、C 都在直线 y＝2x＋1 上，把它们的坐标分别代进去。对点 B：－b＝2a＋1。对点 C：b＝2（a－3）＋1＝2a－6＋1＝2a－5。
现在有两个式子：－b＝2a＋1，以及 b＝2a－5。把第二个式子里的 b 代入第一个：－（2a－5）＝2a＋1，也就是－2a＋5＝2a＋1。移项得 5－1＝2a＋2a，4＝4a，所以 a＝1。
再把 a＝1 代入 b＝2a－5，得到 b＝2－5＝－3。因此点 A 是（1，－3）。
验算：B 是（1，3），3＝2×1＋1，在直线上；C 是（1－3，－3）＝（－2，－3），－3＝2×（－2）＋1，也在直线上。

轮到你，把方法用出来

12 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。

填空按题目要求只填数，或写完整函数如 y=3x+2。函数允许常数项与一次项交换次序；数字可写精确小数或分数，如 1.5 与 3/2。不接受算式代替最后结果，不写单位。

第1题

下列哪个是一次函数？

查看解法

只有y＝2x＋1的一次项系数非0。y＝4是常值函数，其余两项不是一次式。

第2题

若 $y ＝ (m - 2) x + m^{2} - 4$ 是正比例函数，求m（只填数）。

你的答案

查看解法

m²−4＝0得m＝±2；m−2≠0排除2，故m＝−2。

第3题

$y ＝ - 2 x + 3$ 的图象经过哪些象限？

查看解法

与y轴交于(0,3)，与x轴交于(1.5,0)，下降直线经过一、二、四象限。

第4题

直线过(1,3)、(2,5)，求一次函数解析式（写成y＝kx＋b）。

你的答案

查看解法

由k＋b＝3、2k＋b＝5，得k＝2、b＝1，所以y＝2x＋1。

第5题

$y ＝ 2 x - 4$ 与x轴交点的横坐标是多少？

你的答案

查看解法

$2 x - 4 ＝ 0$

$x ＝ 2$

第6题

$y ＝ 2 x - 4$ 在x轴上方时，x的范围是？

查看解法

$2 x - 4 > 0$

$x > 2$

第7题

把 $y ＝ 2 x + 1$ 向右平移1个单位，求新解析式。

你的答案

查看解法

$y ＝ 2 (x - 1) + 1$

$＝ 2 x - 1$

第8题

直线 $y ＝ 2 x + 1$ 与 $y ＝ - x + 4$ 交点的横坐标是多少？

你的答案

查看解法

$2 x + 1 ＝ - x + 4$

$3 x ＝ 3$

$x ＝ 1$

第9题

不等式 $2 x + 1 < - x + 4$ 的解集是？

查看解法

$3 x < 3$

$x < 1$

第10题

甲月租20元且每分钟0.1元，乙无月租且每分钟0.2元，按实际分钟计费。多少分钟两方案同价？

你的答案

查看解法

$20 + 0.1 x ＝ 0.2 x$

$x ＝ 200$

第11题

在 $y ＝ - 2 x + 3$ 中，x＝−1时y是多少？

你的答案

查看解法

$y ＝ - 2 \times (- 1) + 3$

$＝ 5$

第12题

一次函数过(1,3)、(3,7)，一次项系数k是多少？

你的答案

查看解法

$k ＝ \frac{7 - 3}{3 - 1} ＝ 2$

作答只在本页内存中处理，不保存、不上传。刷新页面后重新开始。

教材节名与学习说明

正式节名：23.1 一次函数的概念；23.2 一次函数的图象和性质；23.3 一次函数与方程（组）、不等式；23.4 实际问题与一次函数。五课时是本页学习划分，副标题不是新增教材节名。

节名与公开2026春点读目录及新版教材配套资料交叉核对。例题为自编学习题，不冒称中考真题。本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。

读懂一道，算对一道。暂时卡住时，回到知识卡找条件，再从头看例题。

先看k，再看b

五课时，把方法学扎实

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

先自己想，再看下一步

例题1：两条条件一起用

例题2：画下降直线，再做平移

例题3：两个点，两个方程

例题4：用交点读出不等式

例题5：先找分界，再选方案

例题6：中考常见综合题型

知识点速看

巧算妙招

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

中考真题

轮到你，把方法用出来

第1题

第2题

第3题

第4题

第5题

第6题

第7题

第8题

第9题

第10题

第11题

第12题

本章练习完成