函数

学什么

在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量，数值始终不变的量叫常量。圆面积 $S＝\pi r^2$ 中，$\pi$ 是常量，$S$ 和 $r$ 是变量。

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 $x$ 与 $y$，并且对于 $x$ 的每一个确定的值，$y$ 都有唯一确定的值与其对应，那么 $x$ 是自变量，$y$ 是 $x$ 的函数。

记住一句话：一个 $x$，只能“牵着”一个 $y$。

考点

• 判断是不是函数，看“唯一”：$y＝x^2$ 是函数；$y^2＝x$ 不是，因为 $x＝4$ 时 $y＝2$ 或 $y＝-2$。
• 几个 $x$ 对应同一个 $y$ 没关系：$y＝x^2$ 中 $x＝2$ 和 $x＝-2$ 都得 4，仍是函数。
• 看图象：任意画一条竖直的线，和图象最多只有一个交点，才表示 y 是 x 的函数。
• 找常量和变量：汽车以 60 km/h 行驶，路程 $s＝60t$ 中，60 是常量，$s$、$t$ 是变量。

学什么

自变量不能随便取，要让解析式有意义，实际问题还要有实际意义：

• 整式：全体实数。
• 分式：分母不为 0。
• 二次根式：被开方数大于或等于 0。
• 实际问题：长度、时间、个数等要符合实际。

把自变量的值代入解析式，算出的 $y$ 叫函数值。例如 $y＝2x^2-1$，当 $x＝-2$ 时：

$y＝2\times {(-2)}^2-1＝7$

考点

• $y＝\frac{1}{x-3}$：分母不为 0，$x\ne 3$。
• $y＝\sqrt{x+1}$：被开方数非负，$x\ge -1$。
• 两个条件同时出现，要取公共部分：$y＝\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}$ 中 $x\ge 1$ 且 $x\ne 2$。
• 已知函数值求自变量，可能有两个答案：$y＝x^2+1$ 中 $y＝10$ 时，$x＝3$ 或 $x＝-3$。

学什么

同一个函数可以用三种方法表示，各有长处：

• 解析式法：用等式表示，例如 $S＝a^2$，准确，能算出任意一个函数值。
• 列表法：把对应值列成表，一眼能看到具体数值。
• 图象法：在坐标系里画图，直观看出变化趋势。

画函数图象用描点法：列表、描点、连线。连线时按自变量从小到大，用平滑的曲线把点连起来。

点在函数图象上，就是点的坐标满足解析式。

考点

• 判断点在不在图象上：代入解析式。$(2,3)$ 在 $y＝x^2-1$ 的图象上，因为 $2^2-1＝3$。
• 由表格找规律写解析式：弹簧不挂物体长 10 cm，每挂 1 kg 伸长 0.5 cm，长度 $y＝10+0.5x$。
• 实际问题的图象只画自变量取值范围内的部分。

学什么

行程图里，横轴通常是时间，纵轴是离出发点的距离。读图时一段一段看：

• 线段上升：离出发点越来越远。
• 线段水平：距离不变，表示停留。
• 线段下降：在往回走。

同样的时间里距离变化越大，线段越陡，速度越快。速度 ＝ 这一段的距离变化 ÷ 用时。

讲故事读图：小明出门，走到早餐店，停下买早餐，再走到学校。图见例题5。

考点

• 读坐标：某时刻离家多远，某距离对应哪一时刻。
• 求停留时间：水平段两端的时间差。
• 比较快慢：比较两段的速度，或比较线段陡不陡。