分式

分式的分母里有字母，
而分母永远不能是 0。

跑道上两名学生在跑步，一个在前、一个在后 — 同样的路程，速度不同，用的时间也不同。

学分式，先盯住分母

\frac{A}{B} （ B \neq 0 ）

分式有意义

a^{- n} ＝ \frac{1}{a^{n}}

负指数是倒数

解分式方程最后一步：检验，看分母会不会变成 0。

配套动画：分式：分母永远不能是 0，约 1 分钟。点击播放。

按 2022 年版课标修订的人教版八上第十八章（2025 年秋季起使用）。五节各对应一个学习课时。

五课时，把规则学扎实

先读“学什么”，再用易错反例检查自己。

第1课时

18.1 分式及其基本性质

从分数到分式；约分与通分

学什么

一般地，如果 $A$ 、 $B$ 表示两个整式，并且 $B$ 中含有字母，那么式子 $\frac{A}{B}$ 叫分式。

三个条件
问题	条件
分式有意义	分母 $B \neq 0$
分式无意义	分母 $B ＝ 0$
分式的值为 0	分子 $A ＝ 0$ ，且分母 $B \neq 0$

基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。据此可以约分（约去分子分母的公因式）和通分（化成同分母）。

考点

约分前先把分子、分母分解因式： $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4}$ $＝ \frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}}$ $＝ \frac{x - 2}{x + 2}$ 。
通分找最简公分母：系数取最小公倍数，因式取最高次幂。
$\frac{1}{x - 2}$ 有意义的条件是 $x \neq 2$ 。

易错点

求分式值为 0 时忘了分母。 $\frac{x^{2} - 1}{x - 1} ＝ 0$ ，由分子得 $x ＝ \pm 1$ ，但 $x ＝ 1$ 时分母为 0，要舍去，只有 $x ＝ - 1$ 。

第2课时

18.2 分式的乘法与除法

先分解，再约分

学什么

乘法：分子乘分子，分母乘分母。除法：除以一个分式，等于乘它的倒数。

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} ＝ \frac{a c}{b d}$

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} ＝ \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

分子、分母是多项式时，先分解因式，再约分，结果要化成最简分式或整式。

考点

乘方： ${(\frac{a}{b})}^{n} ＝ \frac{a^{n}}{b^{n}}$ 。
混合运算：先乘方，再乘除，从左到右。
除法先统一成乘法，再一起约分。

易错点

除法没有先变成乘倒数，就直接约分。 $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$ 要先写成 $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ 。

第3课时

18.3 分式的加法与减法

同分母直接加减，异分母先通分

学什么

同分母：分母不变，分子相加减。异分母：先通分，变成同分母再加减。

$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} ＝ \frac{a \pm b}{c}$

$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} ＝ \frac{a d \pm b c}{b d}$

化简求值：先化简，再代入。所代的值必须让原式中每个分母都不为 0（包括除式的分子）。

考点

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$ $＝ \frac{(x + 1) - (x - 1)}{x^{2} - 1}$ $＝ \frac{2}{x^{2} - 1}$ 。
结果要约成最简分式。
代值前检查：使分母为 0 的值不能代。

易错点

分子相减时没加括号。 $\frac{x}{x - 1} - \frac{x + 2}{x - 1}$ 的分子是 $x - (x + 2) ＝ - 2$ ，不是 $x - x + 2$ 。分子是多项式，先套括号。

第4课时

18.4 整数指数幂

负整数指数幂与科学记数法

学什么

规定：

$a^{- n} ＝ \frac{1}{a^{n}}$

$（ a \neq 0 ， n 是正整数）$

引入负整数指数后，幂的运算法则对所有整数指数都成立。

绝对值小于 1 的数也可以用科学记数法表示： $0.00012 ＝ 1.2 \times 10^{- 4}$ 。小数点向右移动几位，指数就是负几。

考点

$2^{- 2} ＝ \frac{1}{4}$ ， ${(\frac{1}{2})}^{- 1} ＝ 2$ ， ${(\frac{2}{3})}^{- 2} ＝ \frac{9}{4}$ 。
$a^{- 2} b^{3} \cdot a^{5} ＝ a^{3} b^{3}$ 。
$0.000 005 ＝ 5 \times 10^{- 6}$ ：第一个非零数字前有 6 个 0（含小数点前的 0）。

易错点

$2^{- 2} ＝ - 4$ 是错的。负指数表示“倒数”，不是“负数”： $2^{- 2} ＝ \frac{1}{2^{2}} ＝ \frac{1}{4}$ 。

第5课时

18.5 分式方程

去分母，必须检验

学什么

分母中含未知数的方程叫分式方程。解法：

两边同乘最简公分母，化成整式方程（每一项都要乘）；
解整式方程；
检验：把解代入最简公分母，不为 0 才是原方程的解；为 0 就是增根，要舍去。

列分式方程解应用题的常见关系
题型	关系
行程问题	时间＝路程÷速度
工程问题	工作时间＝工作总量÷工作效率
购物问题	数量＝总价÷单价

考点

增根：使最简公分母为 0 的根。
应用题也要两次检验：是不是原方程的解，是否符合实际意义。
已知方程有增根求参数：先求出增根，再代入整式方程。

易错点

不检验。去分母时可能产生增根，不检验就会把不存在的解当成答案。

常数项漏乘。 $\frac{x}{x - 2} ＝ \frac{2}{x - 2} + 2$ 两边乘 $x - 2$ ，右边的 2 也要乘，得 $2 (x - 2)$ 。

先自己想，再看下一步

六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：分式有意义、值为 0

（1）当 $x$ 取什么值时， $\frac{1}{x - 2}$ 有意义？（2）当 $x$ 取什么值时， $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 的值为 0？

（1）分母不为 0： $x - 2 \neq 0$ ，即 $x \neq 2$ 。
（2）分子为 0： $x^{2} - 1 ＝ 0$ ， $x ＝ 1$ 或 $x ＝ - 1$ 。
再看分母： $x ＝ 1$ 时 $x - 1 ＝ 0$ ，舍去。所以 $x ＝ - 1$ 。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：约分

约分： $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4}$ 。

分子用平方差公式： $x^{2} - 4 ＝ (x + 2) (x - 2)$ 。
分母用完全平方公式： $x^{2} + 4 x + 4 ＝ {(x + 2)}^{2}$ 。
约去公因式 $x + 2$ ：结果是 $\frac{x - 2}{x + 2}$ 。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题3：分式的除法

计算： $\frac{x^{2} - 4}{x} \div \frac{x + 2}{x^{2}}$ 。

除法变乘倒数： $\frac{x^{2} - 4}{x} \cdot \frac{x^{2}}{x + 2}$ 。
分解因式： $\frac{(x + 2) (x - 2)}{x} \cdot \frac{x^{2}}{x + 2}$ 。
约去 $x + 2$ 和一个 $x$ ：结果是 $x (x - 2)$ ，也可以写成 $x^{2} - 2 x$ 。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题4：化简求值

先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x ＝ 3$ 。

括号内通分： $1 - \frac{1}{x + 1}$ $＝ \frac{x + 1 - 1}{x + 1}$ $＝ \frac{x}{x + 1}$ 。
除法变乘法并分解： $\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$ $＝ x - 1$ 。
$x ＝ 3$ 时各分母都不为 0，原式 $＝ 3 - 1 ＝ 2$ 。注意 $x$ 不能取 0、1、 $- 1$ 。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题5：整数指数幂与科学记数法

计算：（1） $2^{- 2}$ ；（2） ${(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ；（3）用科学记数法表示 $0.00012$ 。

（1） $2^{- 2} ＝ \frac{1}{2^{2}} ＝ \frac{1}{4}$ 。
（2） ${(\frac{1}{2})}^{- 1} ＝ \frac{1}{\frac{1}{2}} ＝ 2$ ，就是取倒数。
（3）小数点向右移 4 位得 1.2： $0.00012 ＝ 1.2 \times 10^{- 4}$ 。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题6：解分式方程，注意增根

解方程：（1） $\frac{3}{x} ＝ \frac{2}{x - 1}$ ；（2） $\frac{x}{x - 2} ＝ \frac{2}{x - 2} + 2$ 。

（1）两边乘 $x (x - 1)$ ： $3 (x - 1) ＝ 2 x$ ， $3 x - 3 ＝ 2 x$ ， $x ＝ 3$ 。
检验： $x ＝ 3$ 时 $x (x - 1) ＝ 6 \neq 0$ ， $x ＝ 3$ 是原方程的解。
（2）两边乘 $x - 2$ ，每一项都乘： $x ＝ 2 + 2 (x - 2)$ ， $x ＝ 2 x - 2$ ， $x ＝ 2$ 。
检验： $x ＝ 2$ 时 $x - 2 ＝ 0$ ，是增根。原方程无解。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

知识点速看

第十八章分式

分式有意义：分母 ≠ 0；值为 0：分子＝ 0 且分母 ≠ 0。
分式的基本性质：分子分母同乘或同除以一个不为 0 的整式，值不变。
约分先因式分解：（ $x^{2} － 4$ ）/（ $x^{2} ＋ 2 x$ ）＝（x － 2）/x。
异分母相加减先通分：1/（x － 1）－ 1/（x ＋ 1）＝ 2/（ $x^{2} － 1$ ）。
负整数指数幂：a⁻ⁿ $＝ \frac{1}{a}$ ⁿ（a ≠ 0）。
分式方程要检验，使最简公分母为 0 的是增根。

巧算妙招

这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。

妙招 1

分式值为 0，分子为 0，分母不为 0

先想一想

（ $x^{2} － 1$ ）/（x － 1）＝ 0 时，x 等于几？是 ±1 吗？

怎么做

分式有意义，分母不能为 0。分式的值为 0，要同时满足两个条件：分子等于 0，并且分母不等于 0。先由分子求出可能的值，再把使分母为 0 的去掉。

例题

当 x 为何值时，（ $x^{2} － 1$ ）/（x － 1）的值为 0？

分子为 0： $x^{2} － 1$ $＝ 0$ ，x ＝ 1 或 x ＝－1。
分母不为 0：x － 1 ≠ 0，x ≠ 1。
所以 x ＝－1。

什么时候能用

分式有意义、无意义、值为 0 的判断。

容易用错的地方

只看分子，答 x ＝ ±1。
先约分成 x ＋ 1 再求，丢掉了 x ≠ 1 的条件。

妙招 2

分式运算，先因式分解，能约就约

先想一想

（ $x^{2} － 4$ ）/（ $x^{2} ＋ 2 x$ ）怎样化简？1/（x － 1）－ 1/（x ＋ 1）怎样计算？

怎么做

分子分母是多项式时，先因式分解，再约去公因式。加减时先把分母分解，找最简公分母，通分后再加减，结果要约到最简。

例题

化简（ $x^{2} － 4$ ）/（ $x^{2} ＋ 2 x$ ）；计算 1/（x － 1）－ 1/（x ＋ 1）。

（ $x^{2} － 4$ ）/（ $x^{2} ＋ 2 x$ ）＝（x ＋ 2）（x － 2）/［x（x ＋ 2）］＝（x － 2）/x。
公分母（x － 1）（x ＋ 1）：［（x ＋ 1）－（x － 1）］/［（x － 1）（x ＋ 1）］＝ 2/（ $x^{2} － 1$ ）。
用 x ＝ 3 检查第二题： $\frac{1}{2} － \frac{1}{4}$ $＝ \frac{1}{4}$ ， $\frac{2}{8}$ $＝ \frac{1}{4}$ ，一样。

什么时候能用

分式的约分、乘除、加减、化简求值。

容易用错的地方

约分时约掉了「项」而不是「因式」：（x ＋ 2）/（x ＋ 3）不能约掉 x。
减号后面的分子没有加括号。

妙招 3

解分式方程，最后一定要检验

先想一想

解 2/（x － 1）＝ 4/（ $x^{2} － 1$ ），得到 x ＝ 1，这就是答案吗？

怎么做

两边同乘最简公分母，化成整式方程来解。但是乘的式子可能是 0，所以解出来的根要代回最简公分母检验：公分母为 0 的根是增根，要舍去；全部舍去就说明原方程无解。

例题

解方程 1/（x － 2） $＝ \frac{3}{x}$ ；解方程 2/（x － 1）＝ 4/（ $x^{2} － 1$ ）。

第一个：两边乘 x（x － 2），x ＝ 3（x － 2），x ＝ 3x － 6，x ＝ 3。检验：x（x － 2）＝ 3 ≠ 0，x ＝ 3 是原方程的解。
第二个：两边乘（x ＋ 1）（x － 1），2（x ＋ 1）＝ 4，x ＝ 1。
检验：x ＝ 1 时（x ＋ 1）（x － 1）＝ 0，是增根，原方程无解。

什么时候能用

所有分式方程；分式方程的应用题还要检验是否符合实际。

容易用错的地方

不检验，把增根当成答案。
去分母时没有分母的项忘了乘。

查看解法

移 4 位， $1.2 \times 10^{- 4}$ 。C 中 12 不在 1 到 10 之间。

第6题

约分 $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4}$ 的结果是（）。

查看解法

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2}}$ $＝ \frac{x - 2}{x + 2}$ 。

第7题

教材节名与学习说明

正式节名为：18.1 分式及其基本性质（18.1.1 从分数到分式，18.1.2 分式的基本性质）；18.2 分式的乘法与除法；18.3 分式的加法与减法；18.4 整数指数幂；18.5 分式方程。整数指数幂在新教材中单独成节（18.4），本页按节分课时。

节名已与公开的人教版（2024）八年级上册新教材目录核对。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。

解完分式方程，先问自己：检验了吗？这个解会不会让某个分母等于 0？

学分式，先盯住分母

五课时，把规则学扎实

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

先自己想，再看下一步

例题1：分式有意义、值为 0

例题2：约分

例题3：分式的除法

例题4：化简求值

例题5：整数指数幂与科学记数法

例题6：解分式方程，注意增根

知识点速看

巧算妙招

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

轮到你，把方法用出来

第1题

第2题

第3题

第4题

第5题

第6题

第7题

第8题

第9题

第10题

第11题

第12题

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