因式分解

把多项式写成几个整式的积。
一提，二套，三检查。

把一堆积木重新拼成长方形 — 把零散的积木拼成一个长方形，就像把多项式写成几个因式的积。

因式分解是整式乘法倒过来

m a + m b ＝ m (a + b)

提公因式

a^{2} - b^{2} ＝ (a + b) (a - b)

套公式

分解完乘回去，能还原成原式，才算对。

配套动画：因式分解：把“和”变成“积”，约 1 分钟。点击播放。

按 2022 年版课标修订的人教版八上第十七章（2025 年秋季起使用）。新教材把旧版第十四章拆出“因式分解”单独成章。

三课时，把规则学扎实

先读“学什么”，再用易错反例检查自己。

第1课时

17.1 用提公因式法分解因式

把公因式提到括号外面

学什么

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。它和整式乘法方向相反：

$m (a + b + c) ⇄ m a + m b + m c$

多项式各项都含有的公共因式叫公因式。确定公因式：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都有的字母，指数取最低次幂。

整式乘法与因式分解互为逆过程的示意 — 合起来、拆开，是互逆的两个过程：整式乘法与因式分解也是这样。

考点

$6 a^{2} b - 9 a b^{2}$ $＝ 3 a b (2 a - 3 b)$ 。
首项是负号，先提“ $-$ ”： $- 4 x^{2} + 8 x ＝ - 4 x (x - 2)$ ，括号里各项都变号。
公因式可以是多项式： $a (x - y) + b (y - x)$ $＝ (x - y) (a - b)$ 。

易错点

提完后漏掉“1”： $2 a^{2} + 2 a ＝ 2 a (a + 1)$ ，不是 $2 a \cdot a$ 。某一项整个被提走，括号里要留下 1。分解完乘回去检验。

第2课时

17.2 用公式法分解因式

平方差公式与完全平方公式倒过来用

学什么

把乘法公式反过来写，就得到分解因式的公式：

$a^{2} - b^{2} ＝ (a + b) (a - b)$

$a^{2} + 2 a b + b^{2} ＝ {(a + b)}^{2}$

$a^{2} - 2 a b + b^{2} ＝ {(a - b)}^{2}$

完全平方式的特征：三项，两项是平方项且符号相同，另一项是这两个底数乘积的 2 倍。

一般步骤：一提二套三检查。先看能不能提公因式，再看能不能套公式，最后检查每个因式还能不能再分解。

考点

$4 a^{2} - 9$ $＝ (2 a + 3) (2 a - 3)$ 。
$2 x^{3} - 8 x$ $＝ 2 x (x^{2} - 4)$ $＝ 2 x (x + 2) (x - 2)$ ：先提再套。
若 $x^{2} + k x + 9$ 是完全平方式，则 $k ＝ \pm 6$ 。

易错点

分解不彻底： $x^{4} - 1$ $＝ (x^{2} + 1) (x^{2} - 1)$ 还没完， $x^{2} - 1$ 还能分解成 $(x + 1) (x - 1)$ 。

第3课时

阅读与思考

x²＋(p＋q)x＋pq 型式子的因式分解

学什么

由多项式乘法 $(x + p) (x + q)$ $＝ x^{2} + (p + q) x + p q$ ，反过来就得到：

$x^{2} + (p + q) x + p q ＝ (x + p) (x + q)$

做法：找两个数 $p$ 、 $q$ ，使它们的积是常数项，和是一次项系数。

x²＋5x＋6 拼成长方形 (x＋2)(x＋3)

面积 x²＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)：常数 6＝2×3，一次项系数 5＝2＋3。

考点

$x^{2} - 5 x + 6$ ：积 6、和 $- 5$ ，取 $- 2$ 、 $- 3$ ，得 $(x - 2) (x - 3)$ 。
$x^{2} + x - 12$ ：积 $- 12$ 、和 1，取 4、 $- 3$ ，得 $(x + 4) (x - 3)$ 。
常数项为负，两个数异号；常数项为正，两个数同号，符号和一次项系数相同。

易错点

符号选错。先看常数项的符号定“同号还是异号”，再看一次项系数定“谁大”。写完乘回去，看一次项对不对。

先自己想，再看下一步

六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：提公因式

分解因式：（1） $6 a^{2} b - 9 a b^{2}$ ；（2） $- 4 x^{2} + 8 x$ 。

（1）系数 6、9 的最大公约数是 3；字母 $a$ 、 $b$ 都有，最低次都是 1 次，公因式是 $3 a b$ 。
$6 a^{2} b - 9 a b^{2}$
$＝ 3 a b (2 a - 3 b)$
（2）首项是负号，先提 $- 4 x$ ，括号内各项变号：
$- 4 x^{2} + 8 x ＝ - 4 x (x - 2)$
检验： $- 4 x (x - 2) ＝ - 4 x^{2} + 8 x$ ，正确。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：公因式是多项式

分解因式： $a (x - y) + b (y - x)$ 。

$y - x$ 和 $x - y$ 互为相反数： $y - x ＝ - (x - y)$ 。
原式 $＝ a (x - y) - b (x - y)$ ，公因式是 $(x - y)$ 。
结果： $(x - y) (a - b)$ 。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题3：平方差公式

分解因式：（1） $4 a^{2} - 9$ ；（2） $x^{4} - 1$ 。

（1） $4 a^{2} ＝ {(2 a)}^{2}$ ， $9 ＝ 3^{2}$ ： $4 a^{2} - 9$ $＝ (2 a + 3) (2 a - 3)$ 。
（2） $x^{4} ＝ {(x^{2})}^{2}$ ： $x^{4} - 1$ $＝ (x^{2} + 1) (x^{2} - 1)$ 。
$x^{2} - 1$ 还能分解： $x^{4} - 1$ $＝ (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ 。 $x^{2} + 1$ 不能再分解了。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题4：完全平方公式

分解因式：（1） $x^{2} - 6 x + 9$ ；（2） $4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2}$ 。

（1） $x^{2}$ 和 $9 ＝ 3^{2}$ 是平方项， $6 x ＝ 2 \cdot x \cdot 3$ ，中间是减号： ${(x - 3)}^{2}$ 。
（2） $4 x^{2} ＝ {(2 x)}^{2}$ ， $9 y^{2} ＝ {(3 y)}^{2}$ ， $12 x y ＝ 2 \cdot 2 x \cdot 3 y$ ：
$4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2}$
$＝ {(2 x + 3 y)}^{2}$
套公式前先确认中间项正好是“2 倍积”。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题5：一提二套

分解因式：（1） $2 x^{3} - 8 x$ ；（2） $3 a x^{2} - 6 a x + 3 a$ 。

（1）先提公因式 $2 x$ ： $2 x (x^{2} - 4)$ ；再套平方差： $2 x (x + 2) (x - 2)$ 。
（2）先提 $3 a$ ： $3 a (x^{2} - 2 x + 1)$ ；再套完全平方： $3 a {(x - 1)}^{2}$ 。
三检查：每个因式都不能再分解，分解彻底。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题6：积是常数项，和是一次项系数

分解因式：（1） $x^{2} - 5 x + 6$ ；（2） $x^{2} + x - 12$ 。

x²＋5x＋6 拼成长方形 (x＋2)(x＋3)

面积 x²＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)：常数 6＝2×3，一次项系数 5＝2＋3。

（1）找两个数，积为 6，和为 $- 5$ ： $- 2$ 和 $- 3$ 。 $x^{2} - 5 x + 6$ $＝ (x - 2) (x - 3)$ 。
（2）积为 $- 12$ ，和为 1：4 和 $- 3$ 。 $x^{2} + x - 12$ $＝ (x + 4) (x - 3)$ 。
乘回去检验： $(x + 4) (x - 3)$ $＝ x^{2} + x - 12$ ，正确。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

知识点速看

第十七章因式分解

因式分解是把多项式化成几个整式的积，和整式乘法互逆。
先提公因式： $6 x^{2} y － 9 x y^{2}$ $＝ 3 x y$ （2x － 3y）。
再用公式： $2 x^{2} － 8$ $＝ 2$ （x ＋ 2）（x － 2）， $x^{2} ＋ 6 x ＋ 9$ $＝$ （x ＋ 3）²。
十字相乘： $x^{2} － 5 x ＋ 6$ $＝$ （x － 2）（x － 3）。
分解要彻底，每个因式都不能再分。

巧算妙招

这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。

妙招 1

先提公因式，系数取最大公因数，字母取最低次

先想一想

$6 x^{2} y － 9 x y^{2}$ 怎样分解？

怎么做

先找各项的公因式：系数取各项系数的最大公因数，字母取各项都有的字母，指数取最低的那个。提出来以后，括号里每一项都等于原来的项除以公因式。

例题

分解因式 $6 x^{2} y － 9 x y^{2}$ 。

系数 6 和 9 的最大公因数是 3。
都有 x 和 y，最低次都是 1 次，公因式是 3xy。
$6 x^{2} y \div 3 x y$ $＝ 2 x$ ， $9 x y^{2} \div 3 x y$ $＝ 3 y$ 。
结果：3xy（2x － 3y）。用 x ＝ 1，y ＝ 1 检查：6 － 9 ＝－3，3 ×（2 － 3）＝－3，一样。

什么时候能用

因式分解的第一步，永远先看能不能提公因式。

容易用错的地方

公因式提得不彻底，只提了 3x。
某一项正好等于公因式时，括号里要留 1：2a ＋ 2 ＝ 2（a ＋ 1），不是 2a。

妙招 2

提完公因式再套公式，分解到不能再分

先想一想

$2 x^{2} － 8$ 怎样分解？分成 2（ $x^{2} － 4$ ）就完了吗？

怎么做

提完公因式，看括号里是不是两项且是平方差（ $a^{2} － b^{2}$ ），或者三项且是完全平方式（ $a^{2}$ ± $2 a b ＋ b^{2}$ ），是就继续用公式分解。每一个因式都不能再分为止。

例题

分解因式 $2 x^{2} － 8$ ， $x^{2} ＋ 6 x ＋ 9$ 。

$2 x^{2} － 8$ $＝ 2$ （ $x^{2} － 4$ ）＝ 2（x ＋ 2）（x － 2）。
$x^{2} ＋ 6 x ＋ 9$ ： $x^{2}$ 和 $9$ $＝ 3^{2}$ 是平方，6x ＝ 2 · x · 3，是完全平方式，＝（x ＋ 3）²。

什么时候能用

因式分解；简便计算： $101^{2} － 99^{2}$ $＝$ （101 ＋ 99）（101 － 99）＝ 200 × 2 ＝ 400。

容易用错的地方

分解到 2（ $x^{2} － 4$ ）就停了。
$x^{2} ＋ 4$ 不能在实数范围内用平方差分解。

妙招 3

$x^{2} ＋ p x ＋ q$ ，找两个数：积是 q，和是 p

先想一想

$x^{2} － 5 x ＋ 6$ 怎样分解？它不是完全平方式。

怎么做

由（x ＋ a）（x ＋ b） $＝ x^{2} ＋$ （a ＋ b）x ＋ ab 反过来想：找两个数 a、b，使 ab ＝常数项，a ＋ b ＝一次项系数。常数项是正数，两个数同号；是负数，两个数异号。

例题

分解因式 $x^{2} － 5 x ＋ 6$ 。

找积为 6、和为－5 的两个数：－2 和－3。
$x^{2} － 5 x ＋ 6$ $＝$ （x － 2）（x － 3）。
检查：展开得 $x^{2} － 3 x － 2 x ＋ 6$ $＝ x^{2} － 5 x ＋ 6$ ，对了。

什么时候能用

二次项系数是 1 的二次三项式；以后解一元二次方程也常用。

容易用错的地方

只看积，不看和，找成 2 和 3，得（x ＋ 2）（x ＋ 3），中间项变成了＋5x。
分解完不展开检查。

把 $x^{4} - 1$ 分解因式，结果是（）。

查看解法

$x^{2} - 1$ 还能分解成 $(x + 1) (x - 1)$ 。

第12题

用因式分解简便计算： $101^{2} - 2 \times 101 + 1$ 。

你的答案

查看解法

${(101 - 1)}^{2}$ $＝ 100^{2}$ $＝ 10000$ 。

作答只在本页内存中处理，不保存、不上传。刷新页面后重新开始。

教材节名与学习说明

正式节名为：17.1 用提公因式法分解因式；17.2 用公式法分解因式；阅读与思考 x²＋(p＋q)x＋pq 型式子的因式分解。第3课时对应课本中的“阅读与思考”栏目，属于拓展阅读，不是正式小节。

节名已与公开的人教版（2024）八年级上册新教材目录核对。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。

分解完，挑一个数代进原式和结果，两边相等再交卷。

因式分解是整式乘法倒过来

三课时，把规则学扎实

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

先自己想，再看下一步

例题1：提公因式

例题2：公因式是多项式

例题3：平方差公式

例题4：完全平方公式

例题5：一提二套

例题6：积是常数项，和是一次项系数

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巧算妙招

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

轮到你，把方法用出来

第1题

第2题

第3题

第4题

第5题

第6题

第7题

第8题

第9题

第10题

第11题

第12题

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