整式的乘法

学什么

三条运算法则（$m$、$n$ 都是正整数）：

拿不准时就“写开数个数”：$a^3·a^2$ 是 3 个 $a$ 乘 2 个 $a$，一共 5 个 $a$ 相乘，等于 $a^5$。

考点

• 逆用：$2^{m+n}＝2^m·2^n$，$2^{mn}＝{\left(2^m\right)}^n$。
• 积的乘方要连系数一起乘方：${(-2a^2)}^3＝-8a^6$。
• ${(-a)}^2＝a^2$，${(-a)}^3＝-a^3$：负号看指数的奇偶。

学什么

• 单项式 × 单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其余字母照抄。如 $2a^{2}b·3a{b}^3＝6a^3{b}^4$。
• 单项式 × 多项式：用单项式乘多项式的每一项，再相加：$m(a+b)＝ma+mb$。
• 多项式 × 多项式：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再相加。

考点

• $(x+2)(x-3)$$＝x^2-3x+2x-6$$＝x^2-x-6$。
• 展开后“不含某项”，就是那一项的系数为 0，列方程求参数。
• 检查项数：两项乘两项，合并同类项前应有 4 项。

学什么

同底数幂相除，底数不变，指数相减：

${\displaystyle a^m÷a^n＝a^{m-n}}$

（$a\ne 0$，$m$、$n$ 都是正整数，并且 $m＞n$）

当 $m＝n$ 时，$a^m÷a^m＝1$；如果把这个法则推广到 m＝n 的情形，就得到 $a^0$，所以规定：

${\displaystyle a^0＝1（a\ne 0）}$

单项式 ÷ 单项式：系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；只在被除式里出现的字母，连同它的指数照抄到商里。如 $12a^3{b}^2{x}^3÷3a{b}^2＝4a^2{x}^3$。

多项式 ÷ 单项式：用多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。例如：

$(12a^3-6a^2＋3a)÷3a$

$＝4a^2-2a＋1$

考点

• 多项式除以单项式，每一项都要除，商的项数和原多项式相同（最后一项 $3a÷3a＝1$，别漏写 1）。
• $a^8÷a^2＝a^6$，不是 $a^4$。
• ${(x-3)}^0＝1$ 成立的条件是 $x\ne 3$。
• 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1，如 ${(-5)}^0＝1$。

学什么

平方差公式：

${\displaystyle (a+b)(a-b)＝a^2-b^2}$

完全平方公式：

${\displaystyle {(a+b)}^2＝a^2+2ab+b^2}$

${\displaystyle {(a-b)}^2＝a^2-2ab+b^2}$

考点

• 简便运算：${99}^2$$＝{(100-1)}^2$$＝9801$，$101\times 99$$＝(100+1)(100-1)$$＝9999$。
• 整体代换：$a+b＝5$，$ab＝6$，则 $a^2+b^2$$＝{(a+b)}^2-2ab$$＝13$。
• 公式里的 $a$、$b$ 可以是单项式：${(2x-3)}^2$$＝4x^2-12x+9$。