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三角形

两边之和大于第三边，
三个内角加起来是 180°。

用三根小木棒围三角形的学生
三根小棒，有的能围成三角形，有的围不成——这和三边的长短有关。

三角形最基本的两条规矩

a−b<c<a+b三边关系
∠A+∠B+∠C＝180°内角和定理

三条线段能不能围成三角形、一个角是多少度，都从这两条出发。

配套动画：三角形：三条边，三个角，处处有规矩，约 1 分钟。点击播放。

按 2022 年版课标修订的人教版八上第十三章（2025 年秋季起使用）。13.2 分成两个学习课时。

四课时，把规则学扎实

先读“学什么”，再用易错反例检查自己。

第1课时

13.1 三角形的概念

边、顶点、角，以及两种分类

学什么

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。三角形有三条边、三个顶点、三个内角。三角形 ABC 记作 △ABC。

三角形的分类
分法类别
按角分（看最大的角）锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形、钝角三角形
按边分三边都不相等的三角形、等腰三角形

等腰三角形中，相等的两边叫腰，另一边叫底边。三边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。

屋顶桁架、衣架、三角尺等生活中的三角形
三角尺、衣架、屋顶桁架：生活里到处有三角形。

考点

  • 判断三角形类型：只看最大的角。最大角是锐角，就是锐角三角形。
  • 等边三角形属于等腰三角形，分类时不能把它们并列。
  • 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，三类不重叠。

易错点

按边分时写成“不等边三角形、等腰三角形、等边三角形”三类并列。等边三角形已经包含在等腰三角形里，这样分有重叠。

看到一个锐角就说是锐角三角形。三个角都是锐角才行。

第2课时

13.2 与三角形有关的线段

三角形的边：三边关系

学什么

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

已知两边 a、b（a>b），第三边 x 的范围是：

a−b<x<a+b

判断三条线段能否围成三角形：只要两条较短的线段之和大于最长的线段就可以。

考点

  • 两边长 3 和 7，第三边 x 满足 4<x<10。
  • 等腰三角形已知两边求周长，要分“哪条是腰”两种情况，再检验三边关系。
  • 三条线段 2、3、5：2+3＝5，不大于 5，围不成三角形。

易错点

等腰三角形两边长 2 和 5，若腰是 2，三边是 2、2、5，2+2<5，围不成。只能腰是 5，周长 5+5+2＝12。分类后一定要检验。

练一练：三角形三边关系

第3课时

13.2 与三角形有关的线段

中线、角平分线、高

学什么

  • 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
  • 中线：连接一个顶点和它对边中点的线段。中线把三角形分成面积相等的两部分（等底同高）。
  • 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。

三条中线交于一点（重心），三条角平分线交于一点，这两个交点都在三角形内部。三条高所在的直线也交于一点，但位置随三角形变化：锐角三角形在内部，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在外部。

钝角三角形的三条高
钝角三角形的三条高钝角三角形 ABC，钝角在 B。从 A 向 CB 的延长线作垂线，垂足 D 在三角形外；从 C 向 AB 的延长线作垂线，垂足 E 也在三角形外；从 B 向 AC 作垂线，垂足 F 在 AC 上。ABCDEF

钝角三角形：钝角所在的两条边上的高都落在三角形外部，要先把边延长（虚线）再作垂线。

顺带复习：三角形的三边长确定后，形状和大小就确定了，这叫三角形的稳定性；四边形没有稳定性。（新教材不单设“稳定性”一小节，这里作为小学已学知识的复习和应用。）

门框上钉斜木条、自行车三角车架
门框钉上一根斜木条、自行车的三角车架，都用到了三角形的稳定性。

考点

  • 钝角三角形有两条高在三角形外部。
  • AD 是中线，则 S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC。
  • 门框钉斜条、塔吊三角支架，用的是三角形的稳定性。

易错点

把“高”画成边的垂直平分线。高必须从顶点出发，垂直于对边（或对边的延长线），不一定经过对边中点。

第4课时

13.3 三角形的内角与外角

内角和 180°，外角等于不相邻两内角的和

学什么

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。推论：直角三角形的两个锐角互余。

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。

三角形的外角 ∠ACD
三角形的外角 ∠ACD三角形 ABC，把边 BC 向右延长到 D。∠ACD 是三角形的一个外角，它和 ∠ACB 拼成平角，和它不相邻的内角是 ∠A、∠B。ABCD外角

∠ACD＋∠ACB＝180°，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，所以 ∠ACD＝∠A＋∠B。

外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。所以外角大于任何一个与它不相邻的内角。

把三角形纸片的三个角撕下拼成平角
把三角形的三个角撕下来拼在一起，看看能不能拼成一个平角。

考点

  • 已知两个内角，求第三个角或某个外角。
  • 内角之比 2:3:4：设三个角为 2k、3k、4k，9k＝180°。
  • 角平分线与高的夹角：先用内角和、外角性质求出关键角。

易错点

把外角说成等于“相邻”内角之和。外角和相邻的内角凑成平角（互补），等于的是不相邻的两个内角之和。

练一练：三角形内角和

练一练：三角形的外角

先自己想，再看下一步

六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：第三边的范围

三角形两边长分别是 3 和 7，求第三边 x 的取值范围；如果第三边长是奇数，它可能是多少？

  1. 两边之差小于第三边，两边之和大于第三边：

    7−3<x<7+3

  2. 所以 4<x<10。注意两端都取不到。

  3. 4 和 10 之间的奇数有 5、7、9，第三边可能是 5、7 或 9。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：等腰三角形要分类，还要检验

等腰三角形的两边长分别是 4 和 9，求它的周长。

  1. 情况一：腰是 4，三边是 4、4、9。4+4＝8<9，围不成三角形，舍去。

  2. 情况二：腰是 9，三边是 9、9、4。9+4>9，能围成。

  3. 周长 9+9+4＝22。只有一种情况成立。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题3：中线平分面积

△ABC 的面积是 12，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点。求 △ABD 和 △BDE 的面积。

  1. BD＝DC，△ABD 和 △ACD 等底同高，面积相等：

    S△ABD＝12×12＝6

  2. 在 △ABD 中，BE 是 AD 边上的中线，同理：

    S△BDE＝12×6＝3

  3. 中线每用一次，面积就平分一次。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题4：用面积求高

直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10。求斜边 AB 上的高 CD。

  1. 直角三角形的两条直角边互为对方上的高，面积可以用两条直角边算：

    S＝12×6×8＝24

  2. 面积也等于 12×AB×CD：

    12×10×CD＝24

  3. 所以 CD＝4.8。同一个三角形，用不同的底和高算面积，结果相等。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题5：内角之比

三角形三个内角的度数之比是 2:3:4，求三个内角的度数，并判断它是什么三角形。

  1. 设三个内角分别为 2k、3k、4k。

  2. 由内角和定理：

    2k+3k+4k＝180°

    k＝20°

  3. 三个角是 40°、60°、80°。最大角 80° 是锐角，所以是锐角三角形。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题6：角平分线与高的夹角

在 △ABC 中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD 平分 ∠BAC，AE⊥BC 于 E。求 ∠DAE。

AD 平分 ∠BAC，AE⊥BC
AD 平分 ∠BAC，AE⊥BC三角形 ABC，∠B＝40°，∠C＝60°。AD 是 ∠BAC 的平分线，交 BC 于 D；AE 是 BC 边上的高，垂足 E 在 D 的右边。ABCDE40°60°

  1. 内角和：∠BAC＝180°−40°−60°＝80°。

  2. AD 平分 ∠BAC，所以 ∠BAD＝40°。

  3. ∠ADC 是 △ABD 的外角：

    ∠ADC＝∠B+∠BAD

    ＝40°+40°＝80°

  4. 在 Rt△ADE 中，两个锐角互余：

    ∠DAE＝90°−80°＝10°

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

知识点速看

第十三章 三角形

  • 两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和：两边 3 和 7，第三边在 4 和 10 之间。
  • 三角形的高、中线、角平分线都是线段；三角形具有稳定性。
  • 内角和 180°；外角等于不相邻两内角之和：50° ＋ 60° ＝ 110°。
  • n 边形内角和（n － 2）× 180°，外角和 360°。
  • 正多边形边数 ＝ 360° ÷ 每个外角：内角 150°，外角 30°，十二边形。

巧算妙招

这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。

妙招 1

已知两边求第三边，「差 ＜ 第三边 ＜ 和」

先想一想

三角形两边长 3 和 7，第三边可以是多少？可以是 4 吗？

怎么做

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。所以第三边一定在「两边之差」和「两边之和」之间，两头都不能取等号。

例题

三角形两边长 3 和 7，求第三边 x 的范围；如果 x 是整数，有几种可能？

  1. 差：7 － 3 ＝ 4；和：7 ＋ 3 ＝ 10。
  2. 4 ＜ x ＜ 10。
  3. 整数可以是 5、6、7、8、9，共 5 种。x ＝ 4 不行，3 ＋ 4 ＝ 7 围不成三角形。

什么时候能用

求第三边的范围；判断三条线段能否构成三角形（看两条短边之和是否大于最长边）。

容易用错的地方

  • 取了端点 4 或 10。
  • 只写了 x ＜ 10，漏了下限。

妙招 2

三角形的外角，等于和它不相邻的两个内角的和

先想一想

△ABC 中，∠A ＝ 50°，∠B ＝ 60°，∠C 的外角是多少度？要先求 ∠C 吗？

怎么做

三角形的一个外角和它相邻的内角合起来是 180°，三个内角合起来也是 180°，所以外角就等于另外两个内角的和。不用先求 ∠C。

例题

∠A ＝ 50°，∠B ＝ 60°，求 ∠C 的外角。

  1. ∠C 的外角 ＝ ∠A ＋ ∠B ＝ 50° ＋ 60° ＝ 110°。
  2. 检查：∠C ＝ 180° － 110° ＝ 70°，外角 180° － 70° ＝ 110°，一样。

什么时候能用

角度计算，特别是图形里有很多三角形套在一起时；证明某个角大于另一个角（外角大于任何一个不相邻的内角）。

容易用错的地方

  • 加上了相邻的内角。
  • 一个顶点处的外角有两个，它们是对顶角，大小一样。

妙招 3

多边形先想外角和 360°，求边数最快

先想一想

一个正多边形每个内角是 150°，它是几边形？

怎么做

多边形的内角和是（n － 2）× 180°，但外角和永远是 360°，不管有几条边。正多边形每个外角都相等，所以边数 ＝ 360° ÷ 每个外角。每个外角 ＝ 180° － 每个内角。

例题

正多边形每个内角 150°，是几边形？一个多边形内角和是 1440°，是几边形？

  1. 每个外角：180° － 150° ＝ 30°；边数：360 ÷ 30 ＝ 12，是正十二边形。
  2. （n － 2）× 180 ＝ 1440，n － 2 ＝ 8，n ＝ 10，是十边形。

什么时候能用

已知正多边形的内角或外角求边数；判断一种正多边形能不能密铺（看内角能不能凑成 360°）。

容易用错的地方

  • 用内角和公式列方程，算得慢还容易错。正多边形优先用外角和。
  • 以为边数越多外角和越大。外角和总是 360°。

中考真题

下面几道是江苏各地中考里，和本章「三角形三边关系、等腰三角形」对得上的原题。先自己做，再点开看讲解。数字一个都没有改过。

2023 江苏南京中考第3题

等腰三角形＋三边关系

知识点：等腰三角形的定义；三角形任意两边之和大于第三边

若一个等腰三角形的腰长为 3，则它的周长可能是（　）

  1. 5
  2. 10
  3. 15
  4. 20
查看答案与讲解

答案：B

  1. 等腰三角形有两条边一样长，这两条一样长的边叫腰。题目已经告诉你：腰长是 3。所以有两条边都是 3。
  2. 还缺一条边，那是底边。底边多长，题目没说，我们设它是 x。这时三边就是 3、3、x。
  3. 三条线段要围成三角形，必须任意两边之和大于第三边。这里只要检查「两条腰加起来比底边长」：3＋3＞x，也就是 x＜6。底边还得是正数，所以 0＜x＜6。两端取不到：如果 x＝6，3＋3＝6，三条线会摊成一条直线，围不成三角形。
  4. 周长＝3＋3＋x＝6＋x。因为 0＜x＜6，所以周长满足 6＜周长＜12。
  5. 看选项：5 比 6 还小，太短了；15 和 20 都已经超过 12，底边就会 ≥9，两条腰加起来够不着。只有 10 落在 6 和 12 之间。所以选 B。
  6. 验算：周长 10 时底边＝10－6＝4，3＋3＞4，3＋4＞3，能围成。

2022 江苏宿迁中考第5题

等腰两边分类讨论

知识点：没说哪条是腰时要分两种情况，每种都用三边关系检验

若等腰三角形的两边长分别是 3 cm 和 5 cm，则这个等腰三角形的周长是（　）

  1. 8 cm
  2. 13 cm
  3. 8 cm 或 13 cm
  4. 11 cm 或 13 cm
查看答案与讲解

答案：D

  1. 题目只给了两条边的长度 3 cm 和 5 cm，没有说哪一条是腰、哪一条是底。等腰三角形有两条腰相等，所以要分成两种想法。
  2. 第一种想法：腰是 3 cm。那么两条腰都是 3 cm，剩下那条已知的 5 cm 就是底边。三边是 3、3、5。检查：3＋3＝6＞5，3＋5＞3。能围成三角形。周长＝3＋3＋5＝11（cm）。
  3. 这里特别容易算错：有人看见 3 和 5，就觉得 3＋3 一定不够，那是把 3＋3 和 5 比成了「小于」。其实 6＞5，只大一点点，但已经够了，三角形比较「扁」，仍然算一个三角形。
  4. 第二种想法：腰是 5 cm。两条腰都是 5 cm，底边是 3 cm。三边是 5、5、3。检查：5＋5＞3，5＋3＞5（8＞5）。能围成。周长＝5＋5＋3＝13（cm）。
  5. 两种都能围成，周长是 11 cm 或 13 cm，选 D。
  6. 为什么不选 C？C 里的 8 cm 对应把 3＋5 直接相加、漏加一条腰，不是本题的两种情形。A 的 8 cm 也是同样的漏算。

2023 江苏宿迁中考第5题

等腰三角形有一个 110° 内角

知识点：等边对等角；底角只能是锐角；有一个钝角时它只能是顶角

若等腰三角形有一个内角为 110°，则这个等腰三角形的底角是（　）

  1. 70°
  2. 45°
  3. 35°
  4. 50°
查看答案与讲解

答案：C

  1. 等腰三角形里，两个底角相等；三个内角加起来是 180°。
  2. 题目只说「有一个内角是 110°」，按道理要问：它是顶角，还是底角？
  3. 先试「它是底角」。另一个底角也得是 110°，两个底角加起来已经是 220°，比 180° 还大，第三个角会变成负数，这不可能。所以 110° 不能当底角。
  4. 再试「它是顶角」。两个底角相等，合起来是 180°－110°＝70°，每一个底角是 70°÷2＝35°。
  5. 所以底角是 35°，选 C。
  6. 对照错项：A 的 70° 是两个底角的和，有人忘了再除以 2；D 的 50° 像是把 110° 当成了别的角去减；B 的 45° 跟本题数字对不上。

2025 江苏连云港中考第4题

三根木棒能否围成三角形

知识点：判断三条线段能否围成三角形：两条较短边之和必须大于最长边

下列长度的 3 根小木棒能搭成三角形的是（　）

  1. 1，2，3
  2. 2，3，4
  3. 3，5，8
  4. 4，5，10
查看答案与讲解

答案：B

  1. 三根木棒要首尾相接围成三角形，任意两根长度加起来都得大于第三根。实际判断时，只要看「较短的两根加起来，是不是比最长的那根还长」。相等也不行，相等只会铺成一条直线。
  2. A：1＋2＝3，等于最长的 3，围不成。
  3. B：2＋3＝5，5＞4，能围成。再顺便看另外两组：2＋4＞3，3＋4＞2，也都对。
  4. C：3＋5＝8，等于最长的 8，围不成。
  5. D：4＋5＝9，9＜10，两根短的够不着最长的那根，围不成。
  6. 所以只有 B。

2023 江苏盐城中考第4题

三根小木棒（带单位）

知识点：三角形三边关系：两边之和大于第三边

下列每组数分别表示 3 根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（　）

  1. 5，7，12
  2. 7，7，15
  3. 6，9，16
  4. 6，8，12
查看答案与讲解

答案：D

  1. 判断方法仍然是：较短的两根加起来，必须大于最长的那根；相等或小于都围不成。
  2. A：5＋7＝12，等于最长的 12，三条边会摊成一条直线，围不成。
  3. B：7＋7＝14，14＜15，两根较短的够不着最长的，围不成。
  4. C：6＋9＝15，15＜16，围不成。
  5. D：6＋8＝14，14＞12；另外 6＋12＞8，8＋12＞6。三组都能成立，可以围成。
  6. 所以选 D。

2024 江苏镇江中考第5题

等腰两边已知，求第三边

知识点：等腰分类讨论；其中「较短边作腰」时要用三边关系筛掉不成立的情形

等腰三角形的两边长分别为 6 和 2，则第三边长为 ______。

查看答案与讲解

答案：6

  1. 题目没有说 6 和 2 哪一条是腰。等腰三角形有两条边相等，所以第三边只可能是 6 或 2，分两种情形。
  2. 第一种：第三边也是 6。这时三边是 6、6、2，意思是两条腰都是 6，底边是 2。检查：6＋6＞2，6＋2＞6（8＞6）。能围成。
  3. 第二种：第三边是 2。这时三边是 6、2、2，意思是两条腰都是 2，底边是 6。检查：2＋2＝4，4＜6，两条腰加起来够不着底边，围不成三角形。
  4. 所以只有第一种成立，第三边长是 6。
  5. 为什么第二种很容易被误选？因为有人只想「再补一条跟已知一样的边」，忘了还要用三边关系检查。腰太短、底太长时，图形会「裂开」。

轮到你，把方法用出来

12 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。

填空只填一个数，度数不写“°”。也可点输入框下的符号按钮。

第1题

下列每组线段能围成三角形的是（ ）。

查看解法

3+4＝7>5，能围成。其余：1+2＝3，2+3<6，4+5<10。

第2题

三角形两边长 3 和 7，第三边长是整数，第三边最长是多少？

查看解法

4<x<10，最大的整数是 9。

第3题

等腰三角形两边长分别是 2 和 5，它的周长是多少？

查看解法

腰为 2 时 2+2<5，不行；腰为 5 时三边 5、5、2，周长 12。

第4题

一个三角形最大的内角是 89°，这个三角形是（ ）。

查看解法

最大角都是锐角，三个角就都是锐角，是锐角三角形。

第5题

关于钝角三角形的三条高，下列说法正确的是（ ）。

查看解法

钝角所在的两条边上的高在三角形外部，最长边上的高在内部。

第6题

△ABC 的面积是 18，AD 是 BC 边上的中线，△ACD 的面积是多少？

查看解法

12×18＝9。

第7题

木门框容易变形，木工在门框上钉一根斜木条，这样做的道理是（ ）。

查看解法

斜木条和门框组成三角形，三角形三边确定后形状不变。

第8题

三角形三个内角的度数之比是 2∶3∶4，最大的内角是多少度？

查看解法

9k＝180°，k＝20°，最大角 4k＝80°。

第9题

在 △ABC 中，∠A＝50°，∠B＝60°，∠C 的外角是多少度？

查看解法

50°+60°＝110°。

第10题

直角三角形的一个锐角是 35°，另一个锐角是多少度？

查看解法

90°−35°＝55°。

第11题

三角形的一个外角是 120°，与它不相邻的一个内角是 45°，与它不相邻的另一个内角是多少度？

查看解法

120°−45°＝75°。

第12题

在 △ABC 中，∠B＝30°，∠C＝70°，AD 平分 ∠BAC，AE⊥BC 于 E。∠DAE 是多少度？

查看解法

∠BAC＝80°，∠BAD＝40°，∠ADC＝30°+40°＝70°，∠DAE＝90°−70°＝20°。

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教材节名与学习说明

正式节名为：13.1 三角形的概念；13.2 与三角形有关的线段（13.2.1 三角形的边，13.2.2 三角形的中线、角平分线、高）；13.3 三角形的内角与外角（13.3.1 三角形的内角，13.3.2 三角形的外角）。本章还有综合与实践“确定匀质薄板的重心位置”，本页未单独展开。旧版本章中的“多边形及其内角和”已移到八年级下册“四边形”。新教材没有单设“三角形的稳定性”小节，本页在第3课时末尾作为小学已学知识的复习，不对应课本的某一小节。

节名已与公开的人教版（2024）八年级上册新教材目录核对。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。

遇到求角的题，先在图上标出已知角，再问自己：能用内角和，还是能用外角？