两个未知数，两个方程。
消掉一个，就回到一元一次方程。
不管用哪种方法，目标都是把二元变成一元。
按 2022 年版课标修订的人教版七下第十章（2025 年春季起使用，旧版为第八章）。10.3 与选学 10.4 合在第四个学习课时。
先读“学什么”，再用易错反例检查自己。
第1课时
两个未知数，次数都是 1
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程，叫二元一次方程。把两个（或几个）方程合在一起，共含两个未知数，就组成二元一次方程组。
使方程两边相等的一对值叫二元一次方程的解，有无数组；方程组中各方程的公共解叫方程组的解。
把 当成一次项。 是 x、y 各一次，合起来是二次。
只代入一个方程就说是方程组的解。要每个方程都成立。
第2课时
用一个未知数表示另一个
二元变一元，叫消元。代入消元法：
代入时漏了括号： 写成 。整个式子替换 y，要带括号。
代回原来那个方程，得到恒等式 0＝0。必须代入另一个方程。
第3课时
系数相同就减，相反就加
两个方程中同一未知数的系数相等时，两式相减；系数互为相反数时，两式相加，就能消去这个未知数。系数不同时，先把方程两边乘适当的数，让某个未知数系数的绝对值相同。
相减时只减了左边，或者漏减某一项：右边的常数也要相减，每一项都要变号。
乘的时候只乘了左边，右边常数忘了乘。
第4课时
两个未知量，找两个等量关系
步骤：审题设两个未知数 → 找两个相等关系 → 列方程组 → 解 → 检验是否符合实际 → 作答。
常见类型：鸡兔同笼、配套、行程、买东西、方案选择。
*10.4 三元一次方程组的解法（选学）：三个未知数，三个方程，消元的思路相同：三元→二元→一元。
两个未知数只列了一个方程，或者两个方程其实是同一个关系换了说法。
六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。
是关于 、 的二元一次方程，求 。
二元一次方程中 x 的次数必须是 1：
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
解方程组：，。
第一个方程已经用 x 表示了 y，代入第二个，记得带括号：
回代：
所以 x＝2，y＝3。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
解方程组： ①， ②。
y 的系数是 2 和 −3。① ×3、② ×2，让 y 的系数变成 6 和 −6：
两式相加，y 消掉：
代入 ①：
所以 x＝2，y＝1。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
已知 ，，求 和 。
两式相加：
第二式减第一式：
不用先解出 x、y。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
笼中有鸡和兔共 35 只，共有 94 只脚。鸡、兔各几只？
设鸡 x 只，兔 y 只。头数关系、脚数关系各列一个方程：
第二式除以 2：
减去第一式：
鸡 23 只，兔 12 只。检验：23＋12＝35，46＋48＝94。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
解方程组： ①， ②， ③。
① − ②：
z 代入 ③：
y 代入 ②：
所以 x＝1，y＝2，z＝3。思路就是三元→二元→一元。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。
妙招 1
解方程组 y ＝ 2x － 1，3x ＋ 2y ＝ 12。
有一个方程已经写成「y ＝ 含 x 的式子」，就把它代入另一个方程，消掉 y，变成只含 x 的一元一次方程。代入时把整个式子加上括号。
解方程组：y ＝ 2x － 1，3x ＋ 2y ＝ 12。
某个未知数的系数是 1 或 －1，容易写成「y ＝ …」或「x ＝ …」时。
妙招 2
2x ＋ 3y ＝ 12，2x － y ＝ 4，两个方程里 x 的系数都是 2，怎样一下消掉 x？
同一个未知数的系数相同，两个方程相减；系数互为相反数，两个方程相加。系数不同时，先把一个或两个方程乘一个数，让系数变得相同或相反。
解方程组：2x ＋ 3y ＝ 12，2x － y ＝ 4。
系数相同、相反，或者乘一下就能变得相同、相反。
妙招 3
鸡兔同笼，35 个头、94 只脚。用方程组怎么做？
题里要求两个量，就设两个未知数 x、y。再找出两句相等关系，每一句列一个方程。比起只设一个未知数，两个未知数更直接，不容易绕晕。
鸡兔同笼，35 个头，94 只脚，鸡兔各几只？
有两个未知量的应用题，比如买两种票、两种物品配套。
12 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。
填空只填一个数，负数写 −2。
下列是二元一次方程组的是？
A 有 xy（二次）；B 有三个未知数；D 有 x²。
方程组 ， 的解中， 等于多少？
方程组 ， 的解中， 等于多少？
方程组 ， 的解中， 等于多少？
， 是方程 的解， 等于多少？
鸡兔同笼，共 35 个头、94 只脚，鸡有几只？
用代入法解 ，，代入后正确的是？
3x＋2(2x−1)＝12。
已知 ，，则 等于多少？
解 ，，最简便的第一步是？
x 的系数都是 2，两式相减得 4y＝4。
方程 的正整数解有几组？
y＝1，x＝5；y＝2，x＝3；y＝3，x＝1；y＝4 时 x＝−1 不行。共 3 组。
3 本笔记本和 2 支笔共 22 元，2 本笔记本和 3 支笔共 18 元。一本笔记本多少元？
①×3−②×2：
， 是方程组 ， 的解， 等于多少？
作答只在本页内存中处理，不保存、不上传。刷新页面后重新开始。
正式节名为：10.1 二元一次方程组的概念；10.2 消元——解二元一次方程组（10.2.1 代入消元法，10.2.2 加减消元法）；10.3 实际问题与二元一次方程组；*10.4 三元一次方程组的解法。本页把 10.3 和选学的 10.4 合成一个学习课时，课时副标题为学习提示。
节名已与公开的人教版七年级下册（2025春起使用）电子课本目录核对。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。
解完把 x、y 代回两个原方程，都成立才算对。
