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平面直角坐标系

一对有序数，确定一个点。
先横后纵，左减右加，上加下减。

在电影院里找座位的学生
几排几号，用两个数确定一个位置。

坐标系，核心就是“先横后纵”

(−3,4)第二象限：(−,＋)
(2,−3)→(−1,−1)左移 3、上移 2

到 x 轴的距离看 y，到 y 轴的距离看 x；左右平移改 x，上下平移改 y。

配套动画：平面直角坐标系：先横后纵，约 1 分钟。点击播放。

按 2022 年版课标修订的人教版七下第九章（2025 年春季起使用，旧版为第七章）。一个小节一个学习课时。

四课时，把规则学扎实

先读“学什么”，再用易错反例检查自己。

第1课时

9.1.1 平面直角坐标系的概念

先横后纵，四个象限

学什么

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平的叫 x 轴（横轴），竖直的叫 y 轴（纵轴），交点 O 是原点。平面内的点和有序数对 (x, y) 一一对应，先写横坐标，后写纵坐标。

两条坐标轴把平面分成四个象限，从右上开始逆时针依次是第一、二、三、四象限。

四个象限里点的坐标符号
四个象限里点的坐标符号坐标系中画出四个点：A(3,2) 在右上，B(−3,2) 在左上，C(−3,−2) 在左下，D(3,−2) 在右下。xyO−4−224−4−224A(3,2)B(−3,2)C(−3,−2)D(3,−2)

点图上的虚线圆圈，查看每个关键点的含义。

第一象限在右上，按逆时针依次是二、三、四。坐标轴上的点不属于任何象限。

考点

  • 各象限的符号：一(＋,＋)，二(−,＋)，三(−,−)，四(＋,−)。
  • x 轴上的点纵坐标为 0，形如 (a, 0)；y 轴上的点横坐标为 0，形如 (0, b)。
  • 坐标轴上的点不属于任何象限。

易错点

横、纵坐标写反。先左右（x），后上下（y），和小学“数对先列后行”一样。

说 (0, 3) 在第一象限。它在 y 轴上，不属于任何象限。

第2课时

9.1.2 用坐标描述简单几何图形

到 x 轴的距离看 y

学什么

点 P(x, y) 到 x 轴的距离是 |y|，到 y 轴的距离是 |x|。

平行于 x 轴的直线上，各点纵坐标相同；平行于 y 轴的直线上，各点横坐标相同。这样的两点间距离＝坐标差的绝对值。

△ABC 的面积
△ABC 的面积三角形顶点 A 在原点，B(4,0) 在 x 轴上，C(1,3) 在上方。底 AB＝4，高等于 C 的纵坐标 3。xyO−112345−11234AB(4,0)C(1,3)

点图上的虚线圆圈，查看每个关键点的含义。

底在坐标轴上（或平行于坐标轴），高就是另一点到这条轴的距离。

考点

  • (−3, 4) 到 x 轴的距离是 4，到 y 轴的距离是 3。
  • A(−2,1)、B(3,1) 纵坐标相同，AB∥x 轴，AB＝3−(−2)＝5。
  • 求三角形面积：找一条平行于坐标轴的边当底，另一顶点到它的距离当高。

易错点

到 x 轴的距离答成 |x|。到 x 轴的距离是“上下”的高度，看 y。

第3课时

9.2.1 用坐标表示地理位置

建坐标系，标位置

学什么

用坐标表示地理位置的步骤：

方格街道的小镇地图
在地图上建立平面直角坐标系，就能用坐标表示地点的位置。
  1. 选一个合适的参照点作为原点；
  2. 确定 x 轴、y 轴的正方向（通常正东为 x 轴正方向，正北为 y 轴正方向）；
  3. 定好单位长度（比例尺）；
  4. 写出各点的坐标。

同一个地点，选不同的原点，坐标就不同。

考点

  • 以学校为原点、1 个单位代表 100 m，超市在学校东 300 m、北 200 m，坐标是 (3, 2)。
  • 图书馆在学校西 200 m、南 100 m，坐标是 (−2, −1)。

易错点

东西方向和南北方向弄反，或者忘了按比例尺换算。

第4课时

9.2.2 用坐标表示平移

左减右加，上加下减

学什么

把点 (x, y) 向右平移 a 个单位，得 (x＋a, y)；向左平移 a 个单位，得 (x−a, y)；向上平移 b 个单位，得 (x, y＋b)；向下平移 b 个单位，得 (x, y−b)。

图形平移时，每个点都按同样的规律变化。反过来，已知一对对应点，就能知道整个图形怎么平移。

点 (2,−3) 向左平移 3、向上平移 2
点 (2,−3) 向左平移 3、向上平移 2点 P(2,−3) 先向左走 3 格到 (−1,−3)，再向上走 2 格到 P′(−1,−1)。xyO−3−2−11234−4−3−2−112P(2,−3)P′(−1,−1)

点图上的虚线圆圈，查看每个关键点的含义。

左右平移只改横坐标（左减右加），上下平移只改纵坐标（上加下减）。

考点

  • 点 (2, −3) 向左平移 3、向上平移 2 得 (−1, −1)。
  • A(1,2) 平移到 A′(3,1)：向右 2、向下 1；同一平移下 B(−1,0) 到 B′(1,−1)。

易错点

向左平移改了 y。左右只改 x，上下只改 y。

先自己想，再看下一步

六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：坐标轴上的点

点 P(2m−4,m+1) 在 y 轴上，求点 P 的坐标。

  1. y 轴上的点横坐标为 0：

    2m−4＝0

    m＝2

  2. 纵坐标：

    m+1＝3

  3. 所以 P(0, 3)。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：点到坐标轴的距离

点 P 在第二象限，到 x 轴的距离是 5，到 y 轴的距离是 2。写出 P 的坐标。

  1. 到 x 轴的距离看纵坐标：|y|＝5；到 y 轴的距离看横坐标：|x|＝2。

  2. 第二象限符号是 (−, ＋)：x＝−2，y＝5。

  3. P(−2, 5)。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题3：底在坐标轴上的三角形

A(0,0)，B(4,0)，C(1,3)，求 △ABC 的面积。

△ABC 的面积
△ABC 的面积三角形顶点 A 在原点，B(4,0) 在 x 轴上，C(1,3) 在上方。底 AB＝4，高等于 C 的纵坐标 3。xyO−112345−11234AB(4,0)C(1,3)

点图上的虚线圆圈，查看每个关键点的含义。

底在坐标轴上（或平行于坐标轴），高就是另一点到这条轴的距离。

  1. A、B 都在 x 轴上，底 AB＝4−0＝4。

  2. C 到 x 轴的距离是 |3|＝3，就是高。

  3. S＝12×4×3＝6

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题4：底平行于坐标轴的三角形

A(−2,1)，B(3,1)，C(1,4)，求 △ABC 的面积。

  1. A、B 纵坐标都是 1，AB∥x 轴：

    AB＝3−(−2)＝5

  2. C 到直线 AB 的距离是纵坐标之差：

    4−1＝3

  3. S＝12×5×3＝7.5

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题5：用坐标表示位置

以学校为原点，正东为 x 轴正方向，正北为 y 轴正方向，1 个单位长度代表 100 m。超市在学校东 300 m、北 200 m；图书馆在学校西 200 m、南 100 m。写出它们的坐标，并说明从超市到图书馆怎么走。

  1. 超市：东 3 个单位、北 2 个单位，坐标 (3, 2)。

  2. 图书馆：西 2 个单位、南 1 个单位，坐标 (−2, −1)。

  3. 横坐标从 3 到 −2，向西 5 个单位（500 m）；纵坐标从 2 到 −1，向南 3 个单位（300 m）。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题6：图形平移：由一对点找规律

线段 AB 平移后得到 A′B′，A(1,2) 的对应点是 A′(3,1)。B(−1,0) 的对应点 B′ 的坐标是什么？

  1. 看 A 到 A′：横坐标 1→3，加 2，向右 2；纵坐标 2→1，减 1，向下 1。

  2. B 按同样规律变：

    −1+2＝1

    0−1＝−1

  3. B′(1, −1)。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

知识点速看

第九章 平面直角坐标系

  • 四个象限符号：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）；坐标轴上的点不属于任何象限。
  • 平移：左减右加改横坐标，上加下减改纵坐标，（2，－1）左移 3 上移 4 得（－1，3）。
  • 点（x，y）到 x 轴距离 |y|，到 y 轴距离 |x|。
  • 关于 x 轴对称纵坐标变号，关于 y 轴对称横坐标变号。

巧算妙招

这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。

妙招 1

看符号定象限

先想一想

点 P（－3，2）在第几象限？

怎么做

记住四个象限的符号：第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－）。从右上开始，逆时针转一圈。坐标轴上的点不属于任何象限。

例题

点 P（－3，2）、Q（4，－1）、R（0，5）各在哪里？

  1. P：横坐标负，纵坐标正，在第二象限。
  2. Q：横坐标正，纵坐标负，在第四象限。
  3. R：横坐标是 0，在 y 轴上，不属于任何象限。

什么时候能用

判断点的位置；反过来，已知点在第几象限求字母的范围。

容易用错的地方

  • 横纵坐标写反，（2，－3）和（－3，2）是两个不同的点。
  • 把坐标轴上的点也算进某个象限。

妙招 2

平移，左减右加，上加下减

先想一想

点（2，－1）先向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位，到哪里？

怎么做

左右平移只改变横坐标：向右加，向左减。上下平移只改变纵坐标：向上加，向下减。图形平移时，每个顶点都按同样的规则变。

例题

点（2，－1）向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位，得到的点是？

  1. 向左 3：横坐标 2 － 3 ＝ －1。
  2. 向上 4：纵坐标 －1 ＋ 4 ＝ 3。
  3. 新点是（－1，3）。

什么时候能用

点和图形的平移；已知平移前后的坐标，求平移方式。

容易用错的地方

  • 向左平移改了纵坐标。左右改横坐标，上下改纵坐标。
  • 向下平移时加了。

妙招 3

点到 x 轴的距离看纵坐标，到 y 轴的距离看横坐标

先想一想

点 P（－3，2）到 x 轴的距离是多少？到 y 轴呢？

怎么做

点到 x 轴的距离，是从点垂直走到 x 轴，走的是上下方向，等于纵坐标的绝对值 |y|。点到 y 轴的距离，走的是左右方向，等于横坐标的绝对值 |x|。

例题

点 P（－3，2）到 x 轴、y 轴的距离各是多少？

  1. 到 x 轴：|2| ＝ 2。
  2. 到 y 轴：|－3| ＝ 3。

什么时候能用

求点到坐标轴的距离；已知距离求点（一般有多个答案）。比如到 x 轴距离是 2、到 y 轴距离是 3 的点有 4 个：（3，2）、（－3，2）、（－3，－2）、（3，－2）。

容易用错的地方

  • 到 x 轴的距离看了横坐标，弄反了。
  • 距离写成负数，要加绝对值。

轮到你，把方法用出来

12 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。

填空只填一个数，负数写 −2。坐标类题目用选择题作答。

第1题

点 (−3,4) 在第几象限？

查看解法

(−, ＋) 是第二象限。

第2题

点 (−3,4) 到 x 轴的距离是多少？

查看解法

|4|＝4

第3题

点 (−3,4) 到 y 轴的距离是多少？

查看解法

|−3|＝3

第4题

点 (2,−3) 向左平移 3 个单位、向上平移 2 个单位后的坐标是？

查看解法

2−3＝−1

−3+2＝−1

第5题

点 P(m+1,m−2) 在 x 轴上，点 P 的横坐标是多少？

查看解法

m−2＝0

m＝2

m+1＝3

第6题

A(0,0)，B(4,0)，C(1,3)，△ABC 的面积是多少？

查看解法

12×4×3＝6

第7题

点 (0,−2) 在？

查看解法

横坐标 0，纵坐标 −2，在 y 轴负半轴上。

第8题

AB∥x 轴，A(2,3)，AB＝4，点 B 在 A 的右边，B 的横坐标是多少？

查看解法

2+4＝6

B(6, 3)。

第9题

下列各点中，在第四象限的是？

查看解法

(3, −2)。

第10题

点 M(a,2a−1) 的横坐标与纵坐标相等，a 等于多少？

查看解法

a＝2a−1

a＝1

第11题

线段 AB 平移后 A(1,2) 的对应点是 A′(3,1)，则 B(−1,0) 的对应点是？

查看解法

(−1+2,0−1)＝(1,−1)

第12题

点 P 在第二象限，到 x 轴的距离为 5，到 y 轴的距离为 2，P 的横坐标是多少？

查看解法

|x|＝2

x<0

x＝−2

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教材节名与学习说明

正式节名为：9.1 用坐标描述平面内点的位置（9.1.1 平面直角坐标系的概念，9.1.2 用坐标描述简单几何图形）；9.2 坐标方法的简单应用（9.2.1 用坐标表示地理位置，9.2.2 用坐标表示平移）。本页一个小节一个学习课时，课时副标题为学习提示。

节名已与公开的人教版七年级下册（2025春起使用）电子课本目录核对。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。

拿不准就在方格纸上把点描出来，看它在哪儿、离哪条轴多远。