代数式

字母可以代表任何一个数。
先用具体数说一遍，再换成字母。

用小棒摆一排相连的正方形，相邻两个正方形共用一根小棒 — 正方形越摆越多，就想用字母表示其中的规律。

代数式，核心就是“用字母表示数”

10 a + b

十位是 a、个位是 b 的两位数

{(- 2)}^{2} ＝ 4

代入负数，先套括号

会列式子，就能把一类问题一次说清；会代入求值，就能算出任意一种情况。

配套动画：代数式：用字母说数量关系，约 1 分钟。点击播放。

按 2022 年版课标修订的人教版七上第三章（2024 年秋季起使用，旧版在“整式的加减”一章里）。3.1 内容多，拆成两个学习课时。

三课时，把规则学扎实

先读“学什么”，再用易错反例检查自己。

第1课时

3.1 列代数式表示数量关系

代数式的书写规范

学什么

用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。代数式里没有等号和不等号。

书写规范：

数和字母、字母和字母相乘，乘号写成“·”或省略： $3 \times a$ 写成 $3 a$ ；
数字写在字母前面： $a \times 3$ 写成 $3 a$ ；
带分数要化成假分数： $1 \frac{1}{2} a$ 写成 $\frac{3}{2} a$ ；
除号写成分数线： $a \div b$ 写成 $\frac{a}{b}$ ；
和、差后面有单位时，整个式子加括号： $(a + 5)$ 元。

考点

“比 a 的 3 倍少 2 的数”：先说“a 的 3 倍”是 3a，再“少 2”，得 3a−2。
“a 与 b 的和的平方”是 (a＋b)²；“a 与 b 的平方和”是 a²＋b²。

易错点

写成 $a \times 3$ 、 $1 \frac{1}{2} a$ 、 $a \div 4$ ，都不规范。

“和的平方”和“平方的和”分不清：先算谁，谁就写在里面。

第2课时

3.1 列代数式表示数量关系

用字母表示规律和实际问题

学什么

列代数式的方法：先用具体的数说一遍关系，再把数换成字母。

打折：原价 $a$ 元打八折是 $0.8 a$ 元；
行程：速度 $v$ ，时间 $t$ ，路程 $v t$ ；
数位：十位数字是 $a$ ，个位数字是 $b$ ，这个两位数是 $10 a + b$ ；
规律：摆第 $n$ 个图形用的小棒数，先数前几个，找出每次多几根。

考点

原价 a 元，打八折后再降 10 元，现价 (0.8a−10) 元。
用火柴摆正方形，第 1 个用 4 根，以后每多一个正方形多用 3 根，第 n 个图形共用 (3n＋1) 根。

易错点

把两位数写成 $a b$ 。 $a b$ 表示 $a \times b$ ，两位数应该写 $10 a + b$ 。

“降价 20%”写成 $a - 20 %$ 。应该是 $a (1 - 20 %) ＝ 0.8 a$ 。

第3课时

3.2 代数式的值

代入负数先套括号

学什么

用数值代替代数式里的字母，按运算算出的结果叫代数式的值。步骤：先写原式，再代入，最后计算。

整体代入：不能分别求出字母的值时，把一个式子看成整体。例如已知 $x + 2 y ＝ 3$ ，则 $2 x + 4 y - 1 ＝ 2 (x + 2 y) - 1 ＝ 5$ 。

考点

$a ＝ - 2$ 时， $a^{2} - 3 a ＝ {(- 2)}^{2} - 3 \times (- 2) ＝ 10$ 。
根据公式求值：已知梯形上底、下底、高，代入面积公式。
整体代入：先把所求式子变形，凑出已知的整体。

易错点

负数代入不加括号。 $a ＝ - 2$ 时把 $a^{2}$ 写成 $- 2^{2}$ ，结果成了 −4，正确是 ${(- 2)}^{2} ＝ 4$ 。代入负数时“先套括号，再填数”。

先自己想，再看下一步

六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：按规范列代数式

用代数式表示：① 比 $a$ 的 3 倍少 2 的数；② $x$ 与 $y$ 的差的一半；③ $m$ 除以 $n$ 的商的平方。

① “a 的 3 倍”是 $3 a$ ，“少 2”就减 2： $3 a - 2$ 。
② 先求差 $x - y$ ，再取一半： $\frac{1}{2} (x - y)$ 或 $\frac{x - y}{2}$ 。
③ 商是 $\frac{m}{n}$ ，再平方： ${(\frac{m}{n})}^{2}$ 。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：实际问题：打折与降价

一件商品原价 $a$ 元，先打八折，再降价 10 元。现价多少元？当 $a ＝ 200$ 时，现价是多少？

打八折就是乘 0.8： $0.8 a$ 元。
再降 10 元：现价是 $(0.8 a - 10)$ 元。和差后面有单位，要加括号。
代入 a＝200：
$0.8 \times 200 - 10 ＝ 150$
现价 150 元。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题3：找规律：摆小棒

用小棒摆一排正方形：1 个正方形用 4 根，2 个用 7 根，3 个用 10 根……摆 $n$ 个正方形要用多少根？摆 20 个呢？

列出前几个：4，7，10……每多一个正方形多 3 根。
第 1 个是 4＝3×1＋1，第 2 个是 7＝3×2＋1，所以 n 个正方形用 $(3 n + 1)$ 根。
n＝20 时：
$3 \times 20 + 1 ＝ 61$
用 61 根。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题4：代入负数求值

当 $a ＝ - 2$ ， $b ＝ 3$ 时，求 $a^{2} - 2 a b + b$ 的值。

写出原式，代入时负数加括号：
$a^{2} - 2 a b + b$
$＝ {(- 2)}^{2} - 2 \times (- 2) \times 3 + 3$
先乘方，再乘法：
$＝ 4 + 12 + 3$
$＝ 19$

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题5：整体代入

已知 $x + 2 y ＝ 3$ ，求 $2 x + 4 y - 1$ 的值。

x、y 各是多少求不出来，但所求式子能凑出 x＋2y：
$2 x + 4 y ＝ 2 (x + 2 y)$
把 x＋2y＝3 整体代进去：
$2 x + 4 y - 1 ＝ 2 \times 3 - 1 ＝ 5$

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题6：公式求值

梯形面积公式是 $S ＝ \frac{1}{2} (a + b) h$ 。上底 $a ＝ 3$ cm，下底 $b ＝ 5$ cm，高 $h ＝ 4$ cm，求面积。

代入：
$S ＝ \frac{1}{2} \times (3 + 5) \times 4$
先算括号：
$＝ \frac{1}{2} \times 8 \times 4 ＝ 16$
面积是 16 cm²。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

知识点速看

第三章代数式

书写：数字在字母前，乘号省略，除法写成分数，带分数化假分数。
比 a 的 2 倍少 3：2a － 3；x 与 y 和的一半：（x ＋ y）/2。
代入负数加括号：a ＝－2 时， $a^{2} － 3 a$ $＝ 4 ＋ 6$ $＝ 10$ 。
整体代入：x ＋ 2y ＝ 3，则 2x ＋ 4y － 1 ＝ 5。

巧算妙招

这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。

妙招 1

把文字翻译成代数式，按「谁的几倍、多或少几」的顺序写

先想一想

「比 a 的 2 倍少 3」怎么写？是 2a － 3，还是 3 － 2a？

怎么做

先找出说的是谁的几倍（先算的部分），写出来；再看「多」还是「少」，多就加，少就减。写的时候守规矩：数字和字母相乘，乘号省略，数字写在前面；除法写成分数；带分数系数要写成假分数。

例题

用代数式表示：（1）比 a 的 2 倍少 3；（2）x 与 y 的和的一半；（3）a 除以 b。

a 的 2 倍是 2a，少 3，写作 2a － 3。
x 与 y 的和是 x ＋ y，它的一半是（x ＋ y）/2。
a 除以 b 写作 $\frac{a}{b}$ 。

什么时候能用

列代数式、列方程的第一步。

容易用错的地方

「x 与 y 的和的一半」写成 $x ＋ \frac{y}{2}$ ，那是 x 加上 y 的一半。要加括号。
写成 a2 或 1½a，应写 2a、 $\frac{3}{2} a$ 。

妙招 2

代入负数时，一定先加括号

先想一想

当 a ＝－2 时， $a^{2} － 3 a$ 等于几？有人算成－4 ＋ 6 ＝ 2，哪里错了？

怎么做

把字母换成数的时候，原来省略的乘号要写回来；代入的是负数，就给它加上括号。这样（－2）² 就是 4，不会算成－4。

例题

当 a ＝－2 时，求 $a^{2} － 3 a$ 的值。

代入并加括号：（－2）² － 3 ×（－2）。
（－2）² ＝ 4；3 ×（－2）＝－6。
4 －（－6）＝ 4 ＋ 6 ＝ 10。

什么时候能用

所有代数式求值。

容易用错的地方

不加括号， $－ 2^{2}$ 算成了－4。
3a 代入后写成 3－2，忘了写回乘号。

妙招 3

求不出每个字母时，把一整块代进去

先想一想

已知 x ＋ 2y ＝ 3，求 2x ＋ 4y － 1 的值。x 和 y 各是多少都不知道，怎么求？

怎么做

看要求的式子里，能不能找到已知的那一整块。2x ＋ 4y 正好是 x ＋ 2y 的 2 倍，所以把 x ＋ 2y 当成一个整体，直接代入。

例题

已知 x ＋ 2y ＝ 3，求 2x ＋ 4y － 1 的值。

2x ＋ 4y ＝ 2（x ＋ 2y）。
代入：2 × 3 － 1 ＝ 5。
随便取一组满足条件的数检查：x ＝ 1，y ＝ 1，x ＋ 2y ＝ 3；2 ＋ 4 － 1 ＝ 5，一样。

什么时候能用

已知一个式子的值，求另一个相关式子的值。

容易用错的地方

拼命想把 x、y 求出来，其实求不出来，也不需要。
倍数找错：4y 是 2y 的 2 倍，整个 x ＋ 2y 都要乘 2。

当 $x ＝ - 1$ 时，代数式 $x^{3} - x^{2} + 1$ 的值是多少？

你的答案

查看解法

${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 1 ＝ - 1 - 1 + 1$

$＝ - 1$

第12题

长方形的长是 $a$ cm，宽比长短 3 cm，它的周长是多少 cm？

查看解法

$2 [a + (a - 3)] ＝ 4 a - 6$

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教材节名与学习说明

正式节名为：3.1 列代数式表示数量关系；3.2 代数式的值。本页把 3.1 分成“书写规范”和“表示数量关系与规律”两个学习课时，课时副标题为学习提示。

节名已与公开的人教版七年级上册（2024秋起使用）电子课本目录核对。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。

列式子卡住时，先代一个具体的数试试，关系就清楚了。

代数式，核心就是“用字母表示数”

三课时，把规则学扎实

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

先自己想，再看下一步

例题1：按规范列代数式

例题2：实际问题：打折与降价

例题3：找规律：摆小棒

例题4：代入负数求值

例题5：整体代入

例题6：公式求值

知识点速看

巧算妙招

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

轮到你，把方法用出来

第1题

第2题

第3题

第4题

第5题

第6题

第7题

第8题

第9题

第10题

第11题

第12题

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