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进位制的认识与探究

分、秒逢六十进一，一打逢十二进一，计算机里逢二进一。
进位制的关键只有两点：满几进一，每一位代表多大。

一排台灯有的亮有的灭，像二进制的 1 和 0
一排灯，亮记 1、灭记 0，就能记下一个二进制数。

读懂任何一种进位制

逢 k 进一k 进制只用 0 到 k−1 这 k 个数字
位值是 k 的乘方从右往左依次是 1，k，k²，k³，……

把每一位上的数字乘它的位值，再加起来，就化成了十进制。

按 2022 年版课标修订的人教版七上“综合与实践 进位制的认识与探究”（2024 年秋季起使用，在第二章之后）。本页按“生活中的进位制—位值—二进制—k 进制”四步整理。

四步，把进位制看明白

先读“学什么”，再用易错点检查自己。

第1步

生活中的进位制

满几进一

学什么

我们平时用十进制：满十进一。生活里还有别的“满几进一”：

  • 60 秒＝1 分，60 分＝1 时：六十进制（角度的度、分、秒也是）。
  • 12 个＝1 打：可以看作“逢十二进一”的例子。
  • 7 天＝1 星期、12 个月＝1 年：也是“满几换一”的分组。

严格说，只有按位值写数，才叫几进制记数法。

钟面、一盒鸡蛋和一张日历
钟面、一盒蛋和日历：时间用六十进制，一打是 12 个，一星期 7 天。

考点

  • 判断一个计量方法“满几进一”。
  • 时间相加时，分钟满 60 要向小时进 1。

易错点

把时间当十进制算：2 时 50 分＋1 时 20 分写成“3 时 70 分”。70 分要进位，结果是 4 时 10 分。

第2步

位值：同一个数字，位置不同

十进制数的展开

学什么

在十进制中，3205 的“3”在千位，表示 3 个 1000：

3205＝3×10³＋2×10²＋0×10＋5

每一位的大小叫位值。十进制的位值是 10 的乘方；二进制的位值是 2 的乘方。

十进制与二进制的位值
十进制与二进制的位值两个表格。上表十进制数 3205：千位 3、百位 2、十位 0、个位 5，位值依次是 1000、100、10、1。下表二进制数 1011：位值依次是 8、4、2、1，对应数字 1、0、1、1。十进制：每一位是右边一位的 10 倍二进制：每一位是右边一位的 2 倍1000100101320584211011

每张表上行是位值，下行是数字。同一个数字放在不同的位上，表示的大小不同。

考点

  • 把一个多位数写成“数字×位值”的和。
  • 0 占位：3205 中的 0 表示十位上一个也没有，不能省。

易错点

以为位值“从左往右”是 1、10、100。位值要从右边的个位开始数。

第3步

二进制

只用 0 和 1，逢二进一

学什么

二进制只有 0 和 1 两个数字，满二进一。为了区分，二进制数写成 (1011)2。

  • 二进制化十进制：按位值展开再相加。(1011)2＝1×8＋0×4＋1×2＋1×1＝11。
  • 十进制化二进制：反复除以 2，记下余数，从下往上读。
除以 2 取余数
除以 2 取余数用短除法把 44 化成二进制：44÷2 商 22 余 0，22÷2 商 11 余 0，11÷2 商 5 余 1，5÷2 商 2 余 1，2÷2 商 1 余 0，1÷2 商 0 余 1。箭头提示从下往上读余数，得 101100。2 ) 44余 02 ) 22余 02 ) 11余 12 ) 5余 12 ) 2余 02 ) 1余 1从下往上读：101100

余数从下往上读，最先得到的余数是最低位（个位）。

考点

  • 二进制与十进制互化，一般不超过六位。
  • 检验：把得到的二进制数再展开，看是否等于原数。

易错点

除 2 取余后从上往下读，44 会写成 001101（＝13），错。最后一个余数是最高位，应写 (101100)2。

第4步

k 进制与记数的历史

一般写法与比较

学什么

k 进制用 0，1，…，k−1 这 k 个数字，满 k 进一。例如五进制：

(243)5＝2×5²＋4×5＋3＝73

十六进制不够用的数字记作 A～F（A 表示 10，……，F 表示 15）。古人结绳、刻痕记数，后来才逐渐形成位值记数。

古人用绳子打结记数
古人结绳记数，绳结的位置和个数都有含义。

考点

  • k 进制里不能出现 k 及以上的数字，例如五进制不能出现 5。
  • 比较不同进制的数，先都化成十进制。

易错点

把 (243)5 直接读成“二百四十三”。它的“2”表示 2 个 25，不是 2 个 100。

先自己想，再看下一步

三道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：二进制化十进制

把 (110101)2 化成十进制数。

  1. 从右往左，位值依次是 1、2、4、8、16、32。

  2. 按位展开：

    1×32＋1×16＋0×8＋1×4＋0×2＋1×1

  3. 相加：32＋16＋4＋1＝53。所以 (110101)2＝53。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：十进制化二进制

把 44 化成二进制数。

  1. 反复除以 2：44÷2＝22……0，22÷2＝11……0，11÷2＝5……1。

  2. 继续：5÷2＝2……1，2÷2＝1……0，1÷2＝0……1。商为 0 时停止。

  3. 余数从下往上读：44＝(101100)2。如果从上往下读成 001101，就只有 13，读反了。

  4. 检验：32＋8＋4＝44，正确。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题3：六十进制的加法

一场比赛上半场用时 2 时 45 分，下半场用时 1 时 30 分。一共用时几时几分？

  1. 时和分分开加：2＋1＝3（时），45＋30＝75（分）。

  2. 分钟满 60 进 1：75 分＝1 时 15 分。

  3. 合起来：3 时＋1 时 15 分＝4 时 15 分。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

轮到你，把方法用出来

10 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。

填空只填一个数，不写单位；二进制数直接写数字，例如 1011。

第1题

“60 分＝1 时”用的是哪种进位制？

查看解法

分钟满 60 进 1 小时，是六十进制。

第2题

(1101)2 化成十进制是多少？

查看解法

1×8＋1×4＋0×2＋1×1＝13。

第3题

(100000)2 化成十进制是多少？

查看解法

只有最高位是 1，位值 2⁵＝32。

第4题

把 20 化成二进制数（只填数字，不写括号和下标）。

查看解法

20÷2＝10……0，10÷2＝5……0，5÷2＝2……1，2÷2＝1……0，1÷2＝0……1，从下往上读得 10100。检验 16＋4＝20。

第5题

下面哪一个不可能是二进制数？

查看解法

1102 里出现了 2，二进制里不可能出现 2。

第6题

(213)4 化成十进制是多少？

查看解法

2×16＋1×4＋3＝39。

第7题

2 时 50 分＋1 时 25 分，一共是多少分钟？

查看解法

50＋25＝75 分＝1 时 15 分，共 4 时 15 分＝4×60＋15＝255 分。

第8题

1 打是 12 个。5 打零 7 个一共多少个？

查看解法

5×12＋7＝67（个）。

第9题

两位的二进制数（最高位不能是 0）最大是多少？写成十进制，选哪个？

查看解法

(11)2＝1×2＋1＝3。

第10题

最小的四位二进制数（最高位不能是 0）是多少？写成十进制，只填数字。

查看解法

(1000)2＝1×2³＝8。

作答只在本页内存中处理，不保存、不上传。刷新页面后重新开始。

教材位置与学习说明

本活动在教材中排在第二章“有理数的运算”之后，围绕“进位制的认识与探究”展开：认识生活中的不同进位制，理解位值，并探究二进制与十进制的互化。

活动名称与在目录中的位置按人教版（2024 审定）七年级上册目录核对。本页把活动整理成知识卡、例题和练习；例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题，文中数据除特别说明外都是为练习设定的示例数据。本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。

卡住时，用“位值表”把每一位写清楚：先写位值，再写数字，最后相乘相加。