有理数的运算

每一步都先问：结果是正还是负？
符号定了，剩下的就是小学算术。

有理数运算，核心就是“定符号”

3 - (- 5) ＝ 8

减法：减变加，后面变号

- 2^{2} ＝ - 4

乘方：底数是 2，不是 −2

减法变加法，除法变乘法，最后都回到“符号＋绝对值”。

配套动画：有理数的运算：先定符号，再算绝对值，约 1 分钟。点击播放。

按 2022 年版课标修订的人教版七上第二章（2024 年秋季起使用）。一个小节一个课时，科学记数法与近似数合为一课时。

六课时，把规则学扎实

先读“学什么”，再用易错反例检查自己。

第1课时

2.1.1 有理数的加法

先定符号，再算绝对值

学什么

同号两数相加，取相同的符号，绝对值相加。异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得 0。一个数加 0 还是它本身。

加法交换律、结合律在有理数里照样成立，可以把相反数、同号数或能凑整的数先结合。

考点

$(- 3) + (- 5) ＝ - 8$ ； $(- 7) + 4 ＝ - 3$ ； $(- 2.5) + 2.5 ＝ 0$ 。
相反数先结合：
$(- 6) + 9 + (- 4) + 6$
$＝ [(- 6) + 6] + [9 + (- 4)] ＝ 5$
两步走：先看同号还是异号定符号，再算绝对值。

易错点

异号相加符号定错。 $(- 7) + 4$ 取 −7 的符号，结果是 −3，不是 3。像记账：亏 7 赚 4，还亏 3。

第2课时

2.1.2 有理数的减法

减去一个数＝加上它的相反数

学什么

减去一个数，等于加上这个数的相反数： $a - b ＝ a + (- b)$ 。

加减混合运算，先统一成加法，再省略加号和括号写成“和”的形式，例如 $(- 8) + 5 - (- 3)$ 写成 $- 8 + 5 + 3$ 。

考点

$3 - (- 5) ＝ 3 + 5 ＝ 8$ ； $- 4 - 6 ＝ - 4 + (- 6) ＝ - 10$ 。
温差＝最高温－最低温；海拔差＝高的－低的。

易错点

只改了减号，忘了改减数的符号。“减变加，后面变号”，两处必须同时变： $3 - (- 5)$ 变成 $3 + (+ 5)$ ，不是 $3 + (- 5)$ 。

第3课时

2.2.1 有理数的乘法

同号得正，异号得负

学什么

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数乘 0 都得 0。几个不为 0 的数相乘，负因数有奇数个时积为负，偶数个时积为正。

乘积是 1 的两个数互为倒数。乘法分配律： $a (b + c) ＝ a b + a c$ 。

考点

$(- 3) \times (- 4) ＝ 12$ ； $(- 2) \times 3 \times (- 1) \times (- 5) ＝ - 30$ （3 个负因数）。
$- \frac{2}{3}$ 的倒数是 $- \frac{3}{2}$ ；0 没有倒数。
$(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \times (- 12) ＝ - 6 + 4 ＝ - 2$ 。

易错点

用分配律时负号漏乘。 $(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \times (- 12)$ 中， $- \frac{1}{3}$ 乘 $- 12$ 得 $+ 4$ ，不是 $- 4$ 。括号里每一项连同符号都要乘。

第4课时

2.2.2 有理数的除法

除以一个数＝乘它的倒数

学什么

除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数： $a \div b ＝ a \times \frac{1}{b}$ （ $b \neq 0$ ）。两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除；0 除以任何不为 0 的数都得 0。

乘除混合：先把除法变成乘法，从左往右算。

考点

$(- 12) \div 4 ＝ - 3$ ； $(- \frac{3}{4}) \div (- \frac{1}{2}) ＝ \frac{3}{4} \times 2 ＝ \frac{3}{2}$ 。
$- 6 \div 3 \times \frac{1}{3} ＝ - 2 \times \frac{1}{3} ＝ - \frac{2}{3}$ 。

易错点

乘除混合时先算后面的乘法。 $- 6 \div 3 \times \frac{1}{3}$ 不能先算 $3 \times \frac{1}{3} ＝ 1$ ，那样会得到 −6，正确答案是 $- \frac{2}{3}$ 。乘除是同级运算，从左往右排队。

第5课时

2.3.1 乘方

看清底数是谁

学什么

$n$ 个相同因数 $a$ 相乘记作 $a^{n}$ ， $a$ 叫底数， $n$ 叫指数。负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0 的正整数次幂是 0。

混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的。

考点

${(- 2)}^{2} ＝ 4$ ， $- 2^{2} ＝ - 4$ ， ${(- 2)}^{3} ＝ - 8$ 。
${(\frac{2}{3})}^{2} ＝ \frac{4}{9}$ ， $\frac{2^{2}}{3} ＝ \frac{4}{3}$ ，两者不一样。
先乘方再除再加：
$- 2^{2} + {(- 2)}^{3} \div 4$
$＝ - 4 + (- 8) \div 4 ＝ - 6$

易错点

把 $- 2^{2}$ 算成 4。 $- 2^{2}$ 的底数是 2，意思是“2 的平方的相反数”，等于 −4。只有写成 ${(- 2)}^{2}$ ，底数才是 −2。

第6课时

2.3.2 科学记数法　2.3.3 近似数

a×10ⁿ，1≤|a|＜10

学什么

把一个大数写成 $a \times 10^{n}$ 的形式，其中 $1 \leq | a | < 10$ ， $n$ 是正整数，这叫科学记数法。n 等于原数的整数位数减 1。

近似数用“精确到哪一位”说明精确程度：看要精确到的那一位的下一位四舍五入。

考点

$3800000 ＝ 3.8 \times 10^{6}$ （7 位整数，指数 6）。
$- 120000 ＝ - 1.2 \times 10^{5}$ 。
1.20 精确到百分位；2.5 万精确到千位。
$3.1415$ 精确到 0.01 是 3.14。

易错点

$a$ 写成 38 或 0.38，不满足 $1 \leq | a | < 10$ 。

指数数错：整数位数减 1，不是整数位数。

以为 1.20 和 1.2 一样。它们大小相等，但 1.20 精确到百分位，1.2 只精确到十分位，末尾的 0 不能随便去掉。

先自己想，再看下一步

六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：加法：凑相反数、凑整

计算 $(- 6) + 9 + (- 4) + 6 + (- 5)$ 。

先把互为相反数的 −6 和 6 结合，和为 0。
剩下 9＋(−4)＋(−5)。先把同号的负数结合：
$(- 4) + (- 5) ＝ - 9$
最后异号相加：
$9 + (- 9) ＝ 0$
结果是 0。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：减法：减变加，后面变号

计算 $- 8 + 5 - (- 3)$ 。

减去 −3 等于加上 3：
$- 8 + 5 - (- 3) ＝ - 8 + 5 + 3$
正数先结合：5＋3＝8。
再算：
$- 8 + 8 ＝ 0$

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题3：分配律：每一项连符号一起乘

计算 $(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6}) \times (- 12)$ 。

−12 分别乘括号里的三项：
$\frac{1}{2} \times (- 12) ＝ - 6$
$(- \frac{1}{3}) \times (- 12) ＝ 4$
$\frac{1}{6} \times (- 12) ＝ - 2$
加起来：
$- 6 + 4 - 2 ＝ - 4$

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题4：乘除混合：从左往右

计算 $- 6 \div 3 \times \frac{1}{3}$ 。

乘除同级，从左往右，先算 −6÷3：
$- 6 \div 3 ＝ - 2$
再乘 1/3：
$- 2 \times \frac{1}{3} ＝ - \frac{2}{3}$
如果先算 3×1/3＝1，就得到 −6，这是错的。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题5：乘方混合运算

计算 $- 2^{2} + {(- 2)}^{3} \div 4 - {(- 1)}^{2026}$ 。

先乘方，看清底数：
$- 2^{2} ＝ - 4$
${(- 2)}^{3} ＝ - 8$
${(- 1)}^{2026} ＝ 1$
再算除法：
$(- 8) \div 4 ＝ - 2$
最后加减：
$- 4 + (- 2) - 1 ＝ - 7$

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题6：科学记数法与近似数

① 用科学记数法表示 3800000；② 把 0.08965 精确到千分位。

① 3800000 有 7 位整数，n＝7−1＝6；a 要满足 1≤a＜10，取 3.8：
$3800000 ＝ 3.8 \times 10^{6}$
② 千分位是小数点后第三位（9），看下一位 6，大于等于 5，进 1：
$0.08965 \approx 0.090$
末尾的 0 要保留，它表示精确到了千分位。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

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第二章有理数的运算

同号相加取相同符号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，大减小。
减去一个数等于加上它的相反数：3 －（－4）＝ 7。
乘除先定符号：负因数奇数个为负，偶数个为正，（－2）×（－3）×（－5）＝－30。
乘方：（－2）⁴ ＝ 16，－2⁴ ＝－16。
运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号。
分配律巧算：（ $\frac{1}{2} － \frac{1}{3} ＋ \frac{1}{4}$ ）× 12 ＝ 5。
科学记数法：384000 ＝ 3.84 × 10⁵。

巧算妙招

这一章有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。

妙招 1

加法先把「互为相反数」的凑成 0

先想一想

（－7）＋ 5 ＋（－3）＋ 7，从左往右一步步算，正负号来回变，很容易错。能不能先挑一挑？

怎么做

加法交换律、结合律在有理数里同样适用。先找互为相反数的两个数（比如－7 和 7），它们的和是 0，直接消掉。然后把正数放一起、负数放一起分别相加，最后再算一次异号相加：取绝对值大的那个数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值。

例题

计算（－7）＋ 5 ＋（－3）＋ 7。

－7 和 7 互为相反数，和为 0。
剩下 5 ＋（－3）：异号，5 的绝对值大，取正号，5 － 3 ＝ 2。
结果是 2。

什么时候能用

多个有理数相加减。减法先改成加法：减去一个数，等于加上它的相反数，比如 3 －（－4）＝ 3 ＋ 4 ＝ 7。

容易用错的地方

交换位置时把符号丢了。每个数要带着自己前面的符号一起移动。
异号相加取错符号，要看谁的绝对值大。

妙招 2

乘除和乘方，先定符号再算数

先想一想

（－2）×（－3）×（－5）是正的还是负的？（－2）⁴ 和－2⁴ 一样吗？

怎么做

几个不是 0 的数相乘除，先数负数的个数：偶数个，结果是正；奇数个，结果是负。符号定好以后，只用绝对值来算。乘方要看底数是谁：（－2）⁴ 的底数是－2，是 4 个－2 相乘；－2⁴ 的底数是 2，是 4 个 2 相乘的结果再取相反数。

例题

计算（－2）×（－3）×（－5），（－24）÷（－3）×（ $－ \frac{1}{2}$ ），（－2）⁴，－2⁴。

（－2）×（－3）×（－5）：3 个负数，结果为负，2 × 3 × 5 ＝ 30，得－30。
（－24）÷（－3）×（ $－ \frac{1}{2}$ ）：3 个负数，结果为负， $24 \div 3 \times \frac{1}{2}$ $＝ 4$ ，得－4。
（－2）⁴：4 个－2 相乘，偶数个负数，得 16。
－2⁴：先算 2⁴ ＝ 16，再取相反数，得－16。

什么时候能用

有理数乘除、乘方、混合运算。混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的。

容易用错的地方

把－2⁴ 当成（－2）⁴。没有括号时，指数只管它左下角那个数。
有一个因数是 0，积就是 0，不用再定符号。

妙招 3

带分数的式子，用分配律把分母「乘掉」

先想一想

（ $\frac{1}{2} － \frac{1}{3} ＋ \frac{1}{4}$ ）× 12，先通分算括号里的，要找 12 作公分母，再乘 12。有没有更快的？

怎么做

用乘法分配律，把 12 分别乘括号里的每一项。12 正好能约掉每个分母，就全变成整数了。

例题

计算（ $\frac{1}{2} － \frac{1}{3} ＋ \frac{1}{4}$ ）× 12。

$\frac{1}{2} \times 12$ $＝ 6$ 。
$\frac{1}{3} \times 12$ $＝ 4$ ，前面是减号，所以是－4。
$\frac{1}{4} \times 12$ $＝ 3$ 。
6 － 4 ＋ 3 ＝ 5。

什么时候能用

括号里是几个分数、外面乘一个能约掉所有分母的数。反过来也能用：（－7）× 13 ＋（－7）× 87 ＝（－7）×（13 ＋ 87）＝－700。

容易用错的地方

只乘了第一项。分配律要每一项都乘。
符号跟丢了：减号后面那一项乘出来要保持减号。
除法没有分配律：12 ÷（ $\frac{1}{2} ＋ \frac{1}{3}$ ）不能拆成 $12 \div \frac{1}{2} ＋ 12 \div \frac{1}{3}$ 。

轮到你，把方法用出来

12 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。

填空只填一个数，负数写 −3，分数写 −2/3，不写单位。也可点输入框下的符号按钮。

第1题

计算： $(- 7) + 4$

你的答案

查看解法

$(- 7) + 4 ＝ - (7 - 4) ＝ - 3$

第2题

计算： $- 8 + 5 - (- 3)$

你的答案

查看解法

$- 8 + 5 + 3 ＝ 0$

第3题

计算： $3 - (- 5)$

你的答案

查看解法

$3 - (- 5) ＝ 3 + 5 ＝ 8$

第4题

某地一天最高气温是 $5$ ℃，最低气温是 $- 3$ ℃，这天的温差是？

查看解法

$5 - (- 3) ＝ 8$

第5题

计算： $(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6}) \times (- 12)$

你的答案

查看解法

$- 6 + 4 - 2 ＝ - 4$

第6题

$- 1 \frac{1}{2}$ 的倒数是多少？

你的答案

查看解法

$- 1 \frac{1}{2} ＝ - \frac{3}{2}$

$倒数是 - \frac{2}{3}$

第7题

计算： $- 6 \div 3 \times \frac{1}{3}$

你的答案

查看解法

$- 6 \div 3 ＝ - 2$

$- 2 \times \frac{1}{3} ＝ - \frac{2}{3}$

第8题

下列各组数中，结果相等的是？

查看解法

A：−4 与 4；B： $- 27$ 与 $- 27$ ，相等；C： $\frac{4}{3}$ 与 $\frac{4}{9}$ ；D：−2 与 2。

第9题

计算： $- 2^{2} + {(- 2)}^{3} \div 4$

你的答案

查看解法

$- 4 + (- 8) \div 4 ＝ - 4 - 2 ＝ - 6$

第10题

用科学记数法表示 3800000，正确的是？

查看解法

7 位整数，n＝6，a＝3.8。

第11题

用科学记数法表示的数 $2.05 \times 10^{4}$ ，原数是多少？

你的答案

查看解法

$2.05 \times 10^{4} ＝ 20500$

第12题

近似数 1.20 精确到哪一位？

查看解法

最后一位 0 在百分位，所以精确到百分位。

作答只在本页内存中处理，不保存、不上传。刷新页面后重新开始。

教材节名与学习说明

正式节名为：2.1 有理数的加法与减法（2.1.1 有理数的加法，2.1.2 有理数的减法）；2.2 有理数的乘法与除法（2.2.1 有理数的乘法，2.2.2 有理数的除法）；2.3 有理数的乘方（2.3.1 乘方，2.3.2 科学记数法，2.3.3 近似数）。本页把 2.3.2 和 2.3.3 合成一个学习课时，课时副标题为学习提示。

节名已与公开的人教版七年级上册（2024秋起使用）电子课本目录核对。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。

算错了先查符号：减号变了没有？负因数数对了没有？底数是谁？

有理数运算，核心就是“定符号”

六课时，把规则学扎实

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

学什么

考点

易错点

先自己想，再看下一步

例题1：加法：凑相反数、凑整

例题2：减法：减变加，后面变号

例题3：分配律：每一项连符号一起乘

例题4：乘除混合：从左往右

例题5：乘方混合运算

例题6：科学记数法与近似数

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巧算妙招

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

先想一想

怎么做

例题

什么时候能用

容易用错的地方

轮到你，把方法用出来

第1题

第2题

第3题

第4题

第5题

第6题

第7题

第8题

第9题

第10题

第11题

第12题

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