有理数

学什么

大于 0 的数叫正数，在正数前面加上“−”号的数叫负数。0 既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界。

正数和负数可以表示相反意义的量：收入和支出、零上和零下、高于和低于海平面。先定一个“标准”记作 0，比它多的记正，比它少的记负。

考点

• 规定收入为正，那么支出 30 元记作 $-30$ 元。
• 某零件标准长 $50$ mm，记为“$50\pm 0.2$ mm”，表示合格长度在 49.8 mm 到 50.2 mm 之间。
• “高于标准记为正”，低于标准就记为负，标准本身记 0。

学什么

整数和分数统称有理数。有限小数和无限循环小数都能化成分数，所以都是有理数，例如 $0.5＝\frac{1}{2}$，$0.333\dots ＝\frac{1}{3}$。

两种分类方法：

• 按定义：有理数 → 整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。
• 按正负：有理数 → 正有理数、0、负有理数。

考点

• $\mathrm{\pi }$ 是无限不循环小数，不是有理数。
• 非负整数就是 0 和正整数（自然数）。
• 判断“是不是有理数”：能不能写成两个整数相除的形式。

学什么

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，三个要素缺一不可。正数在原点右边，负数在原点左边。每个有理数都能用数轴上的一个点表示。

可以把数轴想成横着放的温度计。

考点

• 在数轴上表示数，先找原点，再数单位长度。
• 数轴上到某点距离为 3 的点有两个：左右各一个。
• 数轴上，右边的点表示的数总比左边的大。

学什么

只有符号不同的两个数互为相反数。$a$ 的相反数是 $-a$，0 的相反数是 0。在数轴上，互为相反数的两个点在原点两侧，到原点的距离相等。

化简多重符号：数一数“−”的个数，偶数个结果为正，奇数个结果为负。

考点

• $-(-3)＝3$；$-[+(-2\left)\right]＝2$；$+(-5)＝-5$。
• 若 $a$、$b$ 互为相反数，则 $a+b＝0$。
• $-(a-b)$ 的相反数是 $a-b$。

学什么

数轴上表示数 $a$ 的点与原点的距离叫 $a$ 的绝对值，记作 $\left|a\right|$。距离不会是负的，所以 $\left|a\right|\ge 0$。

• 正数的绝对值是它本身；
• 负数的绝对值是它的相反数；
• 0 的绝对值是 0。

考点

• $\left|x\right|＝5$，则 $x＝5$ 或 $x＝-5$。
• $\left|a\right|+\left|b\right|＝0$，则 $a＝0$ 且 $b＝0$（两个非负数相加为 0，每个都是 0）。
• $-|-3|＝-3$：先算绝对值 3，再取相反数。

学什么

正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。用数轴看最直观：右边的总比左边的大。

考点

• 比较 $-\frac{2}{3}$ 与 $-\frac{3}{4}$：先比绝对值，$\frac{2}{3}＝\frac{8}{12}$，$\frac{3}{4}＝\frac{9}{12}$，$\frac{2}{3}<\frac{3}{4}$，所以 $-\frac{2}{3}>-\frac{3}{4}$。
• 多个数排序：先分正、零、负三组，再在负数里比绝对值。