第1课时
鸽巢原理
把物体放进抽屉
学什么
把 个物体放进 个抽屉，总有一个抽屉至少放 2 个。一般地，把 个物体放进 个抽屉，若 （r≠0），总有一个抽屉至少放 个；若正好整除，至少 个。
考点
- 找出物体和抽屉
- 用“商＋1”求至少数
易错点
用“商＋余数”当答案：11÷4＝2……3，至少是 3，不是 5。
怎么教孩子
用 5 颗糖和 4 个碗，让孩子想办法放，体会为什么怎么放都会有一个碗里至少 2 颗。
鸽巢问题
把 5 支笔放进 4 个笔筒，总有一个笔筒里至少有 2 支。
这就是鸽巢原理（抽屉原理）。关键是找到“抽屉”，并想“最坏的情况”。
至少数＝商＋1
至少
整除时至少 3
有余数，至少数＝商＋1；正好整除，至少数＝商。
按 2022 年版课标修订的人教版六年级上册（2026 年秋季起使用）数学广角。新版把鸽巢问题从六下前移到六上，排在第六单元“复习与关联”之后，作为“数学广角”学习，没有单元序号，这里单独成页。
二课时，一课一课学明白
先读“学什么”，再看易错点；家长可以照“怎么教孩子”陪着练。
第2课时
最坏情况
“至少摸几个才能保证”
学什么
求“至少拿几个才能保证……”，要想最倒霉的情况：保证 2 个同色，要拿“颜色数＋1”个；保证 k 个同色，要拿“颜色数×(k−1)＋1”个；保证拿到某种颜色，要先把其他颜色都拿完，再加 1 个。
考点
- 用最坏情况分析
- 区分“保证同色”和“保证某种颜色”
易错点
“保证一双白袜”按“保证同色”来算。
怎么教孩子
让孩子闭眼从装有两种颜色积木的袋子里拿，说说“最倒霉”的情况是什么。
先自己想，再看下一步
六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。
例题1：最简单的情况
6 支笔放进 5 个笔筒，为什么总有一个笔筒至少 2 支？
先每个笔筒放 1 支，用掉 5 支。
剩下 1 支，放进任何一个笔筒，那个笔筒就有 2 支。
不管怎么放，都会出现至少 2 支的笔筒。
这就是鸽巢原理。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
例题2：商加 1
11 只鸽子飞进 4 个鸽笼，总有一个鸽笼至少几只？
平均分：11÷4＝2……3。
每个鸽笼先 2 只，剩 3 只。
剩下的分散到 3 个鸽笼，各多 1 只。
至少 2＋1＝3（只）。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
例题3：找抽屉
30 名同学中，至少几人属相相同？
属相是“抽屉”，有 12 个。
同学是“物体”，30 个。
30÷12＝2……6。
至少 2＋1＝3（人）。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
例题4：保证同色
四种颜色的球，至少摸几个保证 3 个同色？
最坏情况：每种颜色都摸到 2 个。
4×2＝8（个），还没有 3 个同色。
再摸 1 个，一定凑成 3 个。
至少 9 个。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
例题5：保证某种颜色
黑、白袜子各 10 只，至少拿几只保证有一双白袜？
最坏情况：先拿到的全是黑袜，10 只。
接下来还要 2 只白袜才是一双。
至少 10＋2＝12（只）。
和“保证一双同色”（3 只）不一样。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
例题6：余数当抽屉
任意取 5 个自然数，为什么一定有两个数的差是 4 的倍数？
自然数除以 4 的余数只有 0、1、2、3 四种，这就是 4 个抽屉。
5 个数放进 4 个抽屉，至少有 2 个数余数相同。
余数相同的两个数，差能被 4 整除。
所以一定有两个数的差是 4 的倍数。
完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。
知识点速看
数学广角 鸽巢问题
- 鸽巢问题：把 4 支铅笔放进 3 个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有 2 支。
- 有余数时，商加 1：7 本书放进 3 个抽屉，7÷3＝2……1，总有一个抽屉至少有 2＋1＝3 本。
- 正好除尽时，商就是答案：6 本书放进 3 个抽屉，6÷3＝2，总有一个抽屉至少有 2 本。
- 摸球想最倒霉的情况：红、黄两种球，先各摸到 1 个，再摸 1 个就有 2 个同色，所以至少摸 2＋1＝3 个。
- 倒过来求：3 个笼子要保证有一个至少 5 只鸽子，至少要 4×3＋1＝13 只。
巧算妙招
这一单元有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。
妙招 1
「至少有几个」，先平均分，有余数就把商加 1
先想一想
把 7 本书放进 3 个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本？一种一种地去摆，摆不完，也说不清「不管怎么放」。有没有一步就能算出来的办法？
怎么做
想「最平均」的放法，因为越平均，最多的那个抽屉就越少。先用书的本数除以抽屉数：商就是每个抽屉先放的本数。如果还有余数，余下的书不管放进哪个抽屉，那个抽屉都会比商多 1 本。所以：有余数时，答案是「商＋1」；正好除尽时，答案就是商。
例题
7 本书放进 3 个抽屉，总有一个抽屉里至少放了几本？
- 先平均分：7÷3＝2……1，每个抽屉先放 2 本。
- 还剩 1 本，不管放进哪个抽屉，那个抽屉就有 2＋1＝3 本。
- 所以总有一个抽屉里至少有 3 本。
- 再看一题：6 本书放进 3 个抽屉，6÷3＝2，正好分完，总有一个抽屉至少有 2 本。
什么时候能用
题目里出现「总有」「至少」「不管怎么放」，并且知道物体有多少个、抽屉有多少个。
容易用错的地方
- 把「商＋余数」当成答案。7÷3＝2……1 时答案是 2＋1＝3；10÷3＝3……1 时答案是 4；11÷3＝3……2 时答案也是 3＋1＝4，不是 3＋2＝5。余下的 2 本可以分到两个不同的抽屉里。
- 分不清谁是「抽屉」。把 13 个同学分到 12 个月里，月份是抽屉，同学是物体。
妙招 2
摸球题，先想「最倒霉」的摸法
先想一想
袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球，每种都有很多。闭着眼睛摸，至少摸几个，才能保证有 2 个颜色一样？只摸 2 个行吗？
怎么做
「保证」就是要想最倒霉的情况。最倒霉的时候，前面摸到的每种颜色都只差一点点就够了。颜色就是抽屉。要保证有 2 个同色：先每种颜色各摸到 1 个（还没有同色），再多摸 1 个，就一定和前面某一个同色。所以至少摸「颜色数＋1」个。要保证有 3 个同色：最倒霉是每种颜色各摸到 2 个，再多摸 1 个。
例题
袋子里有红、黄、蓝球各 10 个。至少摸几个，才能保证有 3 个球颜色相同？
- 有 3 种颜色，就是 3 个抽屉。
- 最倒霉的情况：每种颜色都摸到 2 个，一共 3×2＝6 个，还没有 3 个同色的。
- 再摸 1 个，不管是什么颜色，那种颜色就有 3 个了。
- 所以至少摸 6＋1＝7 个。
什么时候能用
摸球、抽扑克牌、拿袜子、拿手套这类「至少拿几个才能保证」的题。
容易用错的地方
- 往「运气好」的方向想。「保证」不能靠运气，要按最倒霉的情况算。
- 某种颜色球不够多时要小心。比如红球只有 1 个、黄球和蓝球各有 10 个，要保证 3 个同色，最倒霉是红 1 个、黄 2 个、蓝 2 个，共 5 个，再摸 1 个就够了，答案是 6 个，不是 7 个。
妙招 3
倒过来问「至少要几个物体」，就用「（要的个数－1）×抽屉数＋1」
先想一想
一个班至少有几个同学，才能保证有 2 个人在同一个月过生日？这次不知道物体有多少，要倒过来求。
怎么做
还是想最倒霉的情况：每个抽屉都放了「要的个数－1」个，正好都差 1 个。这时候一共有「（要的个数－1）×抽屉数」个物体，再多 1 个，就一定有一个抽屉够了。
例题
有 3 个鸽笼，至少要有几只鸽子，才能保证有一个鸽笼里至少有 5 只？
- 抽屉是鸽笼，有 3 个；要的个数是 5。
- 最倒霉的情况：每个鸽笼都只有 5－1＝4 只，一共 4×3＝12 只，还没有哪个笼子到 5 只。
- 再来 1 只鸽子，它飞进哪个笼子，哪个笼子就有 5 只了。
- 所以至少要 12＋1＝13 只鸽子。验算：13÷3＝4……1，4＋1＝5，对了。
什么时候能用
题目问「至少有多少个（人、只、本）才能保证……」。生日那道题：12 个月是 12 个抽屉，要 2 个人同月，至少要（2－1）×12＋1＝13 个人。
容易用错的地方
- 忘了最后的「＋1」。12 只鸽子可以正好每笼 4 只，保证不了有 5 只。
- 用「要的个数」直接乘抽屉数。5×3＝15 只当然够，但不是「至少」，13 只就够了。
轮到你，把方法用出来
12 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。
填空只填一个数，不写单位；分数写成 3/4，带分数先化成假分数（如 1又1/2 写 3/2）；百分数只填百分号前的数，如 25 表示 25%。也可以点输入框下的符号按钮。
第1题
6 支笔放进 5 个笔筒，总有一个笔筒里至少有几支？
查看解法
还剩 1 支，放进哪个都使它有 2 支。
第2题
11 只鸽子飞进 4 个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进几只？
查看解法
2＋1＝3（只）。
第3题
30 名同学中，至少有几名同学的属相相同？
查看解法
30÷12＝2……6，2＋1＝3（名）。
第4题
袋子里有红、黄两种颜色的球，至少摸几个才能保证有 2 个同色？
查看解法
2＋1＝3（个）。
第5题
红、黄、蓝、绿四种颜色的球，至少摸几个才能保证有 2 个同色？
查看解法
4＋1＝5（个）。
第6题
同样四种颜色，至少摸几个才能保证有 3 个同色？
查看解法
4×2＋1＝9（个）。
第7题
20 本书放进 6 层书架，总有一层至少放几本？
查看解法
3＋1＝4（本）。
第8题
一个班 45 人，至少有几人在同一个月出生？
查看解法
3＋1＝4（人）。
第9题
抽屉里有黑、白袜子各 10 只，至少拿几只才能保证有一双同色的？
查看解法
2＋1＝3（只）。
第10题
同样的袜子，至少拿几只才能保证有一双白色的？
查看解法
10＋2＝12（只）。
第11题
至少取几个自然数，才能保证其中有两个数除以 4 的余数相同？
查看解法
4＋1＝5（个）。
第12题
100 本书分给一些同学，要保证至少有 1 名同学分到 4 本或以上，最多有几名同学？
查看解法
33×3＝99＜100，一定有人分到 4 本；34×3＝102≥100，可以每人不超过 3 本。最多 33 名。
本单元练习完成
作答只在本页内存中处理，不保存、不上传。刷新页面后重新开始。
教材单元与学习说明
本单元课时安排：鸽巢原理、最坏情况。这是“数学广角”内容，按“鸽巢原理”和“最坏情况”两个环节整理。
单元与课时名按公开的人教版六年级上册新版目录整理。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。
鸽巢问题先找抽屉，平均分后商加 1；摸球问题想最坏情况。