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长方体和正方体

长方体和正方体都有 6 个面、12 条棱、8 个顶点。
本单元学棱长总和、表面积、体积和容积，还有体积单位的换算。

表面积和体积不是一回事

S＝2(ab+ah+bh)表面积：6 个面的面积和
V＝abh＝Sh体积：所占空间的大小

表面积用平方单位，体积用立方单位。相邻体积单位的进率是 1000。

配套动画：长方体和正方体：面、棱、顶点，表面积和体积，约 1 分钟。点击播放。

五年级下册新版尚未出版（预计 2027 年春季使用），本页按学校现在在用的人教版五年级下册（现行旧版）第三单元编写，新版出版后再对齐。

五课时，一课一课学明白

先读“学什么”，再看易错点；家长可以照“怎么教孩子”陪着练。

第1课时

长方体和正方体的认识

面、棱、顶点的特征

学什么

长方体有 6 个面（相对的面完全相同），12 条棱（相对的棱长度相等，分三组），8 个顶点。相交于一个顶点的三条棱叫长、宽、高。正方体是长、宽、高都相等的长方体，12 条棱都相等。棱长总和：长方体 4(a+b+h)，正方体 12a。

桌上放着长方体和正方体的纸盒
找一找：长方体有几个面、几条棱、几个顶点？

考点

  • 长方体、正方体的特征
  • 求棱长总和

易错点

求棱长总和时只算 (长＋宽＋高)，忘了乘 4。

怎么教孩子

找一个牙膏盒或纸巾盒，让孩子数面、棱、顶点，用尺量出长、宽、高。

第2课时

长方体和正方体的展开图

想象折起来的样子

学什么

把长方体或正方体沿棱剪开展平就得到展开图。正方体的展开图有 11 种，可以按“1－4－1”“2－3－1”“2－2－2”“3－3”分类记。展开图中相对的面不相邻，常隔一个。

孩子把纸盒拆开展平
把纸盒沿棱剪开、展平，就是它的展开图。

考点

  • 判断能否折成正方体
  • 在展开图上找相对的面

易错点

“田”字形、“凹”字形的不是正方体展开图。

怎么教孩子

剪开一个正方体纸盒，再试着用 6 个正方形纸片拼不同的展开图，让孩子折一折验证。

第3课时

长方体和正方体的表面积

6 个面的总面积

学什么

长方体表面积 S＝2(ab+ah+bh)；正方体表面积 S＝6a2。实际问题要先想清楚有几个面：无盖鱼缸只有 5 个面，通风管没有两个底面。

考点

  • 计算表面积
  • 联系实际判断要算几个面

易错点

不看实际情况一律算 6 个面；把表面积和体积公式用混。

怎么教孩子

包一个礼品盒：先让孩子估算要多大的包装纸，再量一量、算一算。

第4课时

体积和体积单位

长×宽×高，单位之间进率 1000

学什么

物体所占空间的大小叫体积。常用单位：立方厘米、立方分米、立方米。1 立方米＝1000 立方分米，1 立方分米＝1000 立方厘米。长方体 V＝abh，正方体 V＝a3，都可以写成 V＝Sh（底面积×高）。容积单位：1 升＝1 立方分米，1 毫升＝1 立方厘米。

孩子把小正方体一个个放进盒子
摆满盒子要几个小正方体，就是盒子的容积。

考点

  • 计算体积、容积
  • 体积单位换算

易错点

把体积单位的进率记成 100（那是面积单位）。

怎么教孩子

用 1 立方厘米的小方块搭长方体，让孩子数一数用了几块，再和长×宽×高比较。

第5课时

不规则物体的体积

排水法：升高的水就是物体的体积

学什么

把不规则物体（如石头）完全浸入水中，水面升高部分的体积就是物体的体积：V＝底面长×宽×水面升高的高度。也可以用“放入后的总体积－原来水的体积”。

孩子把石头放进装水的量杯
石头放进水里，水面升高的部分就是石头的体积。

考点

  • 用排水法求体积
  • 注意水不能溢出

易错点

用升高后的水面高度乘底面积，结果多算了原来的水。

怎么教孩子

在家用量杯装水放入一个土豆，看水面升高了多少毫升，土豆体积就约是多少立方厘米。

先自己想，再看下一步

六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：棱长总和

长方体长 5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米，做这样一个框架要多长铁丝？

  1. 长方体的棱分三组，长、宽、高各 4 条。

  2. 一组长＋宽＋高＝5＋4＋3＝12（厘米）。

  3. 共 12×4＝48（厘米）。

  4. 答：要 48 厘米铁丝。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：表面积

求长 5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体的表面积。

  1. 上下两个面：5×4×2＝40。

  2. 前后两个面：5×3×2＝30。

  3. 左右两个面：4×3×2＝24。

  4. 表面积：40＋30＋24＝94（平方厘米）。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题3：无盖鱼缸

做一个长 6 分米、宽 4 分米、高 5 分米的无盖鱼缸，至少用多少平方分米玻璃？

  1. 无盖，所以没有上面，只有 5 个面。

  2. 底面：6×4＝24。

  3. 前后：6×5×2＝60；左右：4×5×2＝40。

  4. 共 24＋60＋40＝124（平方分米）。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题4：体积单位换算

4.2 立方米是多少立方分米？2500 毫升是多少升？

  1. 立方米到立方分米，进率 1000：4.2×1000＝4200（立方分米）。

  2. 毫升到升，进率 1000：2500÷1000＝2.5（升）。

  3. 大单位化小单位乘进率，小单位化大单位除以进率。

  4. 别把面积的进率 100 用到体积上。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题5：排水法

长方体容器底面长 20 厘米、宽 10 厘米，放入石头后水面从 8 厘米升到 11 厘米。石头体积多少？

  1. 水面升高了 11－8＝3（厘米）。

  2. 升高部分是一个长 20、宽 10、高 3 的长方体。

  3. 20×10×3＝600（立方厘米）。

  4. 石头的体积是 600 立方厘米。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题6：拼一拼

把两个棱长 2 厘米的正方体拼成一个长方体，表面积和体积怎样变化？

  1. 体积不变：两个正方体共 (2×2×2)×2＝16（立方厘米）。

  2. 表面积：两个正方体共 2×2×6×2＝48（平方厘米）。

  3. 拼在一起，接触的两个面不在外面了，少 2×2×2＝8。

  4. 长方体表面积 48－8＝40（平方厘米）。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

知识点速看

第三单元 长方体和正方体

  • 长方体有 6 个面、12 条棱、8 个顶点。
  • 棱长总和＝（长＋宽＋高）×4：（5＋4＋3）×4＝48。
  • 表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2：（20＋15＋12）×2＝94。
  • 体积＝长×宽×高＝底面积×高；正方体体积＝棱长³。
  • 1 立方分米＝1000 立方厘米，1 升＝1 立方分米＝1000 毫升。
  • 排水法：底面 10×10，水面升高 2，物体体积 10×10×2＝200 立方厘米。

巧算妙招

这一单元有 3 个小窍门，学会了算得又快又对。每个都先问一个问题，再说怎么做，然后做一道例题，最后说什么时候能用、哪里容易错。

妙招 1

棱长总和＝（长＋宽＋高）×4

先想一想

长 5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米的长方体框架，要用多长的铁丝？

怎么做

长方体有 12 条棱，分成 3 组，每组 4 条一样长：4 条长、4 条宽、4 条高。所以棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。正方体 12 条棱都一样长：棱长×12。

例题

长 5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米，棱长总和是多少？

  1. 长＋宽＋高：5＋4＋3＝12（厘米）。
  2. 乘 4：12×4＝48（厘米）。

什么时候能用

做框架要用多少铁丝；已知棱长总和求一条棱：（长＋宽＋高）＝总和÷4。

容易用错的地方

  • 乘了 2（和周长弄混），要乘 4。
  • 正方体棱长总和乘了 6，应该乘 12。

妙招 2

表面积是三对面，先算三个不同的面再乘 2

先想一想

长 5、宽 4、高 3（厘米）的长方体，表面积是多少？六个面一个一个算太慢。

怎么做

长方体相对的面完全一样，六个面是三对：上下（长×宽）、前后（长×高）、左右（宽×高）。先算这三个面，加起来，再乘 2。实际问题要看缺了哪些面，比如鱼缸没有盖，只算 5 个面。

例题

长 5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米，求表面积。如果是没有盖的盒子呢？

  1. 三个面：5×4＝20，5×3＝15，4×3＝12。
  2. 表面积：（20＋15＋12）×2＝94（平方厘米）。
  3. 没有盖，少一个上面：94－20＝74（平方厘米）。

什么时候能用

包装盒用多少纸、粉刷墙壁（减去门窗和地面）、做无盖的盒子。

容易用错的地方

  • 只算了三个面，忘了乘 2。
  • 实际问题不看缺了哪个面。

妙招 3

体积＝长×宽×高；不规则物体看水面升高了多少

先想一想

一块石头放进长方体鱼缸，怎么知道它的体积？

怎么做

长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高。不规则的物体放进水里，水面升高了，升高部分的水的体积，就等于物体的体积：底面积×升高的高度。单位：1 立方分米＝1000 立方厘米，1 升＝1 立方分米，1 毫升＝1 立方厘米。

例题

鱼缸的底面长 10 厘米、宽 10 厘米。放进一块石头，水面从 6 厘米升到 8 厘米。石头的体积是多少？

  1. 水面升高：8－6＝2（厘米）。
  2. 升高部分的体积：10×10×2＝200（立方厘米）。
  3. 石头的体积就是 200 立方厘米。

什么时候能用

求体积、容积；排水法求不规则物体的体积。

容易用错的地方

  • 用水面的高度 8 厘米去算，应该用升高的 2 厘米。
  • 体积单位换算用了 100，应该是 1000：1 立方分米＝1000 立方厘米。

轮到你，把方法用出来

12 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。

填空只填一个数，不写单位；分数写成 3/4，带分数先化成假分数（如 1又1/2 写 3/2）；百分数只填百分号前的数，如 25 表示 25%。也可以点输入框下的符号按钮。

第1题

长方体长 5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米，棱长总和是多少厘米？

查看解法

(5＋4＋3)×4＝48（厘米）。

第2题

正方体棱长 6 厘米，表面积是多少平方厘米？

查看解法

6×6＝36（平方厘米），36×6＝216（平方厘米）。

第3题

长方体长 5 厘米、宽 4 厘米、高 3 厘米，表面积是多少平方厘米？

查看解法

(5×4＋5×3＋4×3)×2＝(20＋15＋12)×2＝94（平方厘米）。

第4题

同一个长方体的体积是多少立方厘米？

查看解法

5×4×3＝60（立方厘米）。

第5题

3.5 立方分米＝多少立方厘米？

查看解法

3.5×1000＝3500。

第6题

正方体棱长总和是 48 厘米，它的体积是多少立方厘米？

查看解法

棱长 48÷12＝4（厘米），体积 4×4×4＝64（立方厘米）。

第7题

长方体容器底面长 20 厘米、宽 10 厘米，放入一块石头后水面升高了 3 厘米（水没溢出）。石头的体积是多少立方厘米？

查看解法

20×10×3＝600（立方厘米）。

第8题

2.5 升＝多少毫升？

查看解法

2.5×1000＝2500。

第9题

长方体有（　）个面、（　）条棱、（　）个顶点。

查看解法

长方体有 6 个面、12 条棱、8 个顶点，正方体也是。

第10题

做一个无盖玻璃鱼缸，长 6 分米、宽 4 分米、高 5 分米，至少要用玻璃多少平方分米？

查看解法

底面 6×4＝24，前后 6×5×2＝60，左右 4×5×2＝40，共 24＋60＋40＝124（平方分米）。

第11题

把两个棱长 2 厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少平方厘米？

查看解法

两个正方体共 2×6×4＝48，拼接处少 2 个面 2×4＝8，表面积 48－8＝40（平方厘米）。

第12题

长方体底面积 12 平方分米，体积 60 立方分米，高是多少分米？

查看解法

60÷12＝5（分米）。

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教材单元与学习说明

本单元课时安排：长方体和正方体的认识、长方体和正方体的展开图、长方体和正方体的表面积、体积和体积单位、不规则物体的体积。课时标题为学习提示，课堂实际课时以学校安排为准。

单元名按现行人教版五年级下册目录整理。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。

先分清是求棱长、表面积还是体积，再选公式和单位。