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探索图形

把大正方体表面涂色，再切成同样大的小正方体。
三面、两面、一面涂色和没涂色的各有几个？和它们在大正方体里的位置有关。

用小正方体搭成的大正方体，外面涂了颜色
大正方体外面涂上颜色，拆开后小正方体的涂色面各不相同。

位置决定涂几面

顶点三面涂色：总是 8 个
棱上（去两端）两面涂色：12(n−2)

一面涂色在面的中间：6(n−2)2；没涂色的藏在里面：(n−2)3。

五年级下册新版尚未出版（预计 2027 年春季使用），本页按学校现在在用的人教版五年级下册（现行旧版）活动编写，新版出版后再对齐。

二课时，一课一课学明白

先读“学什么”，再看易错点；家长可以照“怎么教孩子”陪着练。

第1课时

数一数涂色的小正方体

从简单的 3×3×3 开始

学什么

棱长为 3 的大正方体由 27 个小正方体组成：三面涂色的在 8 个顶点上，8 个；两面涂色的在 12 条棱的中间，12 个；一面涂色的在 6 个面的正中间，6 个；没有涂色的在最中心，1 个。

孩子拿起一个小正方体，数它有几个面涂了色
角上、棱上、面上、里面的小正方体，涂色面数不一样。

考点

  • 按位置分类：顶点、棱、面、内部
  • 检查总数是否等于小正方体总数

易错点

把顶点上的小正方体也算进棱上，重复计数。

怎么教孩子

用 27 块小积木真的搭一个大正方体，在表面贴小贴纸，再拆开数一数。

第2课时

找规律

棱长为 n 的大正方体

学什么

棱长为 n 时：三面涂色 8 个；两面涂色 12(n−2) 个；一面涂色 6(n−2)2 个；没涂色 (n−2)3 个。四类加起来等于 n3。

大小不同的几个正方体排成一排
大正方体越来越大，涂色的规律也越来越清楚。

考点

  • 用规律直接求个数
  • 用总数检验

易错点

每条棱上的两面涂色个数算成 n，忘了去掉两端的顶点。

怎么教孩子

让孩子列一张表：n＝2、3、4、5 时各类有几个，自己发现规律再说出来。

先自己想，再看下一步

六道例题。每次只展开一步，也可以从头看。

例题1：3×3×3

棱长为 3 的大正方体表面涂色，各类小正方体有几个？

  1. 三面涂色：顶点上，8 个。

  2. 两面涂色：每条棱中间 1 个，12 条棱，12 个。

  3. 一面涂色：每个面正中间 1 个，6 个。

  4. 没涂色：中心 1 个。检查：8＋12＋6＋1＝27。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题2：4×4×4 的两面涂色

棱长为 4 时，两面涂色的有几个？

  1. 每条棱上有 4 个小正方体。

  2. 去掉两端的顶点，剩 4－2＝2 个。

  3. 12 条棱：12×2＝24（个）。

  4. 规律：12×(n－2)。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题3：4×4×4 的一面涂色

棱长为 4 时，一面涂色的有几个？

  1. 每个面有 4×4＝16 个。

  2. 去掉最外一圈（在棱上），中间剩 2×2＝4 个。

  3. 6 个面：6×4＝24（个）。

  4. 规律：6×(n－2)²。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题4：没有涂色的

棱长为 5 时，没有涂色的有几个？

  1. 剥掉最外面一层，每条棱少 2 个。

  2. 里面剩一个棱长 5－2＝3 的正方体。

  3. 3×3×3＝27（个）。

  4. 规律：(n－2)³。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题5：总数检验

棱长为 5 时，各类加起来对不对？

  1. 三面 8，两面 12×3＝36。

  2. 一面 6×9＝54，没涂色 27。

  3. 8＋36＋54＋27＝125。

  4. 5×5×5＝125，对了。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

例题6：反过来想

一个大正方体表面涂色后，一面涂色的小正方体有 96 个。它的棱长是多少？

  1. 一面涂色的：6×(n－2)²＝96。

  2. (n－2)²＝16，n－2＝4。

  3. n＝6。

  4. 检查：6×4×4＝96。

完整讲解如下；启用脚本后可以逐步展开。

轮到你，把方法用出来

12 题，每题 1 分，第一次检查计分。答完会给出提示与完整解法，做完可重做。

填空只填一个数，不写单位；分数写成 3/4，带分数先化成假分数（如 1又1/2 写 3/2）；百分数只填百分号前的数，如 25 表示 25%。也可以点输入框下的符号按钮。

第1题

棱长为 3 的大正方体（由 27 个小正方体拼成）表面涂色。三面涂色的小正方体有几个？

查看解法

正方体有 8 个顶点，8 个。

第2题

同一个大正方体，两面涂色的有几个？

查看解法

每条棱 3－2＝1 个，12 条棱，12 个。

第3题

同一个大正方体，一面涂色的有几个？

查看解法

每个面 (3－2)²＝1 个，6 个面，6 个。

第4题

同一个大正方体，没有涂色的有几个？

查看解法

(3－2)³＝1 个。检查：8＋12＋6＋1＝27。

第5题

棱长为 4 的大正方体（64 个小正方体）表面涂色，两面涂色的有几个？

查看解法

12×(4－2)＝24（个）。

第6题

棱长为 4 的大正方体，一面涂色的有几个？

查看解法

6×2×2＝24（个）。

第7题

棱长为 4 的大正方体，没有涂色的有几个？

查看解法

2×2×2＝8（个）。

第8题

棱长为 5 的大正方体，一面涂色的有几个？

查看解法

6×3×3＝54（个）。

第9题

棱长为 5 的大正方体，没有涂色的有几个？

查看解法

3×3×3＝27（个）。

第10题

棱长为 n（n≥2）的大正方体表面涂色，三面涂色的小正方体有几个？

查看解法

不管多大，正方体都有 8 个顶点，三面涂色的总是 8 个。

第11题

棱长为 4 的大正方体一共由多少个小正方体组成？

查看解法

64 个。检查：8＋24＋24＋8＝64。

第12题

棱长为 10 的大正方体表面涂色，两面涂色的有几个？

查看解法

12×8＝96（个）。

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教材单元与学习说明

本单元课时安排：数一数涂色的小正方体、找规律。这是教材中的“探索图形”活动，不是正式单元，按“数一数”和“找规律”两个环节整理。

单元名按现行人教版五年级下册目录整理。例题与练习由鼓捣星球编写，并非原书原题；本页不是出版社官方网站，请以学校发放的课本为准。

先分清顶点、棱、面、内部四类位置，再用规律计数，最后用总数检验。